Reeksontwikkeling voor n!

Ik begin met de recursieve forumle: $f(n)=nf(n-1)$ , met f(0)=1 , dus f(n)= n!. Vervolgens definieer ik $g(r^n)=f(n)$. Dit veranderd de recursie in $g(r^n)=ng(r^{n-1})$. vervolgens substitueer ik \[ t = r^{n}-r \mbox{ ofwel }n = \frac{\ln(t+r)}{\ln(r)} \]Dit verandert de recursie in
\[ g(t+r)= \frac{\ln(t+r)}{\ln(r)}g(\frac{t+r}{r}) \]Daarna neem ik aan dat:
\[ g(t+r)= \sum_{m=0}^{\infty}a_{m}t^{m} \]Na deze aanname te hebben ingevuld in de recursie, blijkt $a_0$ vrij kiesbaar(door f(1)=1 staat $a_0=1$ vast). Voor de rest van de $a_m$ geldt:
\[ \ln(r)(r^{m+1}-1)a_{m+1}= \sum_{j=0}^{m}\frac{(-1)^{j}a_{m-j}}{j+1} \].
r is de hele tijd vrij kiesbaar, maar ik weet niet of de keuze van r invloed heeft op convergentie en dergelijke. omdat $g(r^n)=f(n)$ geldt er dat \[ f(n)= \sum_{m=0}^{\infty}a_{m}(r^{n}-r)^{m} \]Mijn 2 vragen hierover zijn: convergeerd deze reeksontwikkeling, en is er een manier om $a_m$ te berekenen(voor algemene m) ?

antoni
Student universiteit - zaterdag 16 mei 2020

Antwoord

Het lijkt of je variabele en vaste grootheden door elkaar haalt.
In het begin is $n$ variabel; daarna komt er zo te zien een vaste, maar nog onbepaalde, $r$ in het spel.
Bij de substitutie $t=r^n-r$ gaat het mis. De $t$ is afhankelijk van $r$ en $n$, maar dat laatste is niet meer te zien.
Het lijkt er op dat je nu $t$ alle reële waarden laat aannemen en dat je de gelijkheid
$$g(t+r)\cdot \ln r = \ln(t+r)\cdot g\left(\frac{t+r}r\right)
$$voor alle $t$ gebruikt, maar die geldt alleen voor de $t$-en van de vorm $r^n-r$ en niet voor de andere, want de functie $g$ is niet voor andere $t$ gedefinieerd.
Verder lijkt het me dat het combineren van de reeks en de vergelijking niet zo glad zal verlopen: je hebt $g(t+r)$ als som van een reeks opgeschreven; dan is $g(\frac{t+r}r)$ lastig in te vullen, ik kom op $g(\frac{t+r}{r}-r+r)$ en dat wordt dan
$$\sum_{m=0}^\infty a_m\left(\frac{t+r}r-r\right)^m
$$En ik zie in je betrekking voor de $a_m$ niet wat er met $\ln(t+r)$ gebeurd is.

Toevoeging: je kunt wel analytisch met $n!$ werken via de Gamma-functie, als je $g(r^n)=n!$ wilt hebben kun je
$$
g(x)=\Gamma\left(\frac{\ln x}{\ln r}+1\right)
$$
nemen.

Zie Wikipedia: Gamma-functie

kphart
zaterdag 16 mei 2020

©2001-2024 WisFaq