Bepaalde integraal met goniometrische functies

Goede morgen,
Ik weet niet goed hoe te beginnen aan deze oefening.
Gegeven :
f(x)=1+cos($\frac{\pi}{3}$-x) en g(x)=2cos²(x/2)
Bereken de oppervlakte tussen beide krommen tussen de grenzen ($x=0$ en $x=\frac43$)

Oplossing beginfase
f(x)=g(x)
1+cos($\frac{\pi}{3}$-x)=2cos²(x/2)
1+cos($\frac{\pi}{3}$-x) = 1+cos(x)
cos($\frac{\pi}{3}$-x)=cos(x)
$\frac{\pi}{3}$-x=x en $\frac{\pi}{3}$=2x en x=$\frac{\pi}{6}$

Vul ik deze waarden in bij f($\frac{\pi}{6}$) en g($\frac{\pi}{6}$) bekom ik voor beide waarden :
f($\frac{\pi}{6}$)=1+√3/2=(2+√3)2
g($\frac{\pi}{6}$)=1+√3/2 = (2+√3)/2

Zit ik tot hiertoe goed?
Zo dan, hoe moet het nu verder?

Het juiste antwoord voor deze oppervlakte zou 2 moeten zijn.
Graag mij wat verder op weg zetten zo iemand daar tijd voor kan vrijmaken.

Vriendelijke groeten

Rik
Iets anders - zaterdag 2 mei 2020

Antwoord

Het snijpunt is goed, nu moet je $g-f$ van $0$ tot $\frac\pi6$ integreren en dan $f-g$ van $\frac\pi6$ tot $\frac 43$.

Aanvulling; de $\frac43$ in de vraag bleek $\frac43\pi$ te moeten zijn; in dat geval is er nog een snijpunt, namelijk bij $x=\frac76\pi$. Dan moet er dus drie keer geintegreerd worden:
$$
\int_0^{\frac\pi6}(g-f) + \int_{\frac\pi6}^{\frac76\pi}(f-g) +\int_{\frac76\pi}^{\frac43\pi}(g-f)
$$

kphart
zaterdag 2 mei 2020

Re: Bepaalde integraal met goniometrische functies

©2001-2024 WisFaq