Volume integraal met impliciete grenzen

De opdracht is als volgt:

Bereken: $
\int {\int {\int {y\,\,dxdydz} } }
$

De grenzen zijn als volgt: 0$\le$x,y,z$\le$1, 2$\le$x+y+z.

De integraal zelf bepalen lukt natuurlijk wel echter is het bepalen van de juiste grenzen onduidelijk voor mij. Ik weet niet goed hoe ik voor alle 3 de variabele een expliciete uitdrukking in de andere vind.

Steef
Student universiteit - zondag 19 april 2020

Antwoord

Beste Steef,

Het kan helpen om het integratiegebied visueel voor te stellen: een goede schets is heel handig bij het bepalen van de grenzen.

De eerste voorwaarde, namelijk dat $x$, $y$ en $z$ alle drie gelegen zijn tussen 0 en 1, betekent dat het gebied gelegen is binnen een kubus, namelijk de eenheidskubus vanuit (0,0,0) en met tegenovergelegen hoekpunt (1,1,1).

De vergelijking $x+y+z=2$ stelt een vlak voor en dit vlak verdeelt die kubus in twee delen. Het vlak gaat door drie hoekpunten van de kubus, namelijk (1,1,0), (1,0,1) en (0,1,1). Omdat de voorwaarde (ongelijkheid) $x+y+z \ge 2$ is en bijvoorbeeld het hoekpunt (1,1,1) dus tot het gebied behoort, weet je welk van de twee delen het gezochte gebied is (het kleinere, verder weg van de oorsprong).

Voor het bepalen van de grenzen kan je nu een volgorde kiezen. Projecteer het gebied (een piramide) bijvoorbeeld op het $xy$-vlak en het integratiegebied wordt daar een eenvoudige driehoek. Kies ook hier een volgorde en bepaal tot slot de grenzen voor $z$.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

zondag 19 april 2020

©2001-2024 WisFaq