Oplossing 3e graadsvergelijking volgens methode Tartaglia

Hoe los je de vergelijking x³ + 9x -26 = 0 op volgens de methode van Tartaglia. Ik heb dit als volgt gedaan, maar zie dat x = 2 moet zijn.
9x zag hij als 3 dezelfde balken elk met een inhoud van 3x en één zijde met een lengte x.
Deze balken plaatste hij als volgt: aan de achterkant, aan de zijkant en aan de bovenkant.
Van deze figuur werd vervolgens een nieuwe kubus gemaakt door aan de bovenkant een kleine kubus toe te voegen.
De ribbe van de kleine kubus ( de bovenkant ) noemen we v. De inhoud van de kleine kubus is dan v³.
De ribbe van de grote kubus die is ontstaan door de 3 balken toe te voegen noemen we u. De inhoud van de grote kubus is dus u³. Je ziet dan ook dat x = u - v
Als je dus goed naar de kubus kijkt dan zie je het volgende: Grote kubus - kleine kubus is: x³ + 9x - 26. Dus u³ - v³ = x³ + 9x - 26
De inhoud van één van de balken is dan: x · u · v = 3x

Hoe kan je nu laten zien dat uit x · u · v = 3x volgt dat u³ · v³ = 27
Dit gaat als volgt: 27^¹/₆ = 1,732050808 en dat = 3^0,5. Dus x · 3^0,5 · 3^0,5 = 3x

We weten nu een paar zaken: u³ · v³ = 27 en u³ - v³ = 26
Dus u³ = 27/v³ en u³ = 26 + v³
Dus 26 + v³ = 27/v³. Dus 27/v³ - v³ = 26.
Vermenigvuldig nu beide kanten van het = teken met v³. Je krijgt dan:
27 - v⁶ = 26v³
Dus v⁶ + 26v³ - 27 = 0

Hoe kun je nu met behulp van het bovenstaande x exact berekenen? Dit doen we als volgt:
We weten dat u³ · v³ = 27 en dat dus 27^¹/₆ = 3^0,5. Dus u = 3^0,5 en v = 3^0,5
Dus u³ = (3^0,5)³ =27^0,5 en v³ = (3^0,5)³ = 27^0,5

We hebben gevonden dat v⁶ + 26v³ - 27 = 0
We weten dat dat v = 3^0,5. Dus (3^0,5)⁶ + 26v³ - 27 = 0. Dus 27 + 26v³ - 27 = 0. Dus 26v³ = 0. Dus v³ = 0. Dus v = 0
We weten ook dat u³ · v³ = 27. Als v = 0, dan geldt: u³ = 27. Dus u = 27^¹/₃ = 3
Nu we weten dat v = 0 en u = 3, kunnen we ook x bepalen. Namelijk x = u - v. Dus 3 = 3 - 0

Joost
Iets anders - zaterdag 11 april 2020

Antwoord

Je oplossing staat vol fouten.

In het verhaal van de kubus lijkt het of de balkje $x\times u\times v$ zijn; ik zie niet hoe je die zonder overlap op achter-, zij- en bovenkant krijgt.

Het verschil tussen grote en kleine kubus is niet $x^3+9x-26$ want dat laatste is gelijk aan nul, en dus zou volgen dat $u^3-v^3=0$, ofwel $u=v$ en dus $x=0$ maar dat is geen oplossing.

Omdat $x\neq0$ volgt uit $xuv=3x$ meteen dat $uv=3$ en dus $(uv)^3=27$.

Uit $U^3v^3=27$ volgt niet dat $u=v=\sqrt3$ onder meer omdat we weten dat $u\neq v$ maar vooral omdat dat een onzinnige conclusie is.

Aan het eind wordt het niet raarder: je begint met $v=\sqrt3$ en leidt daaruit af dat $v=0$, en, om het erger te maken concludeer je dat uit $v=0$ en $u^3v^3=27$ volgt dat $u^3=27$; maar $u^3\cdot0^3$ is gelijk aan $0$ en dus niet gelijk aan $27$.

kphart
zaterdag 11 april 2020

©2001-2024 WisFaq