Parametervoorstelling cirkel en raaklijn

Dit is een huiswerkvraag waar ik niet uit kom.

Gegeven is de parametervoorstelling:

c:
x(t)=1+rcos(t)
y(t)=6+rsin(t)

Bereken exact voor welke waarde van r één van de raaklijnen aan c door R(7,-2) de vergelijking x=7 heeft en welke vergelijking de andere raaklijn heeft. Geef deze vergelijking in de vorm mx+ny=c,
waarbij m, n en c geheel zijn.

Door zelf te berekenen heb ik r²=36 en M(1,6) gevonden van de cirkel en de vergelijking:

c:(x-1)²+(y-6)²=36

Voor de vraag welke vergelijking de andere raaklijn heeft, heb ik hiervan een parametervoorstelling van opgesteld.

l:
x(t)=7+t
y(t)=-2+at

Deze heb ik vervolgens gesubstitueerd in de vergelijking van c en vervolgens de discriminant gelijk aan 0 gesteld (is raak punt, dus D=0). Hierop heb ik vervolgens de abc-formule op toegepast, maar kom ik niet op het goede antwoord uit.

Ik heb namelijk via GeoGebra de cirkel getekent met de de 2 raaklijn aan c door punt R(7,-2) . Hier uit volgt dat de vergelijking is: -2x-8y=0

Ik heb de berekening ook geprobeerd met de afstandsformule, maar daar kom ik ook niet op het zelfde antwoord uit als dat van GeoGebra.

De tekening van GeoGebra heb ik verstuurd via de mail.

Guido
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 9 april 2020

Antwoord

Beste Guido,

Je aanpak ziet er goed uit, maar ik denk niet dat de formule die je krijgt via GeoGebra klopt. Bij mij geeft GeoGebra een lijn die bijvoorbeeld net niet door de oorsprong gaat.

Laat ik het eens je berekening volgen:
$(7+t-1)^2+(-2+at-6)^2=36$
$(6+t)^2 +(at-8)^2 = 36$

Uitwerken levert:

$a^2 t^2 - 16 a t + t^2 + 12 t + 64=0$
$(a^2+1)t^2 - (16a-12)t + 64=0$

De discriminant is
$D = (16a-12)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot64=-384 a - 112$ = $-16 (24 a + 7)$.

Dus $D=0$ geeft $a=-\frac{7}{24}$.

Klopt dat met jouw berekening? Dan zat je goed!

Met vriendelijke groet,

donderdag 9 april 2020

©2001-2024 WisFaq