Gemeenschappelijke raaklijn vinden

Gegeven zijn f(x)=x² en g(x)=x²-4x+3. De gemeenschappelijke raaklijn raakt f in P(p,p²) en g in Q(q,q²-4x+3).

• Hoe bereken ik dan p en q?

Ik denk dat je hiervoor de raaklijn voor de functies aan elkaar gelijk moet stellen, dus:

y'=2p $\to$ y-p²=2p(x-p)$\to$ y=2px-p²
y'=2q-4 $\to$ y-q²-4q+3=(2q-4)(x-q) $\to$ y=2qx-q²-4x+8q+3

Als de raaklijnen aan elkaar gelijk zijn, moet dus:

2px=2qx-4x en -p²=q²+8q+3

Hieruit blijkt dat: p=q-2, dus -(q-2)²=q²+8q+3 $\to$ -q²+4q-4=q²+8q+3 $\to$ -4q=7 $\to$ q=-1,75

Echter, is dit niet het goede coördinaat van punt Q. Dus wat ik doe ik mis, en hoe kan ik het verder aanpakken?

Met vriendelijke groet

Marthe
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 30 maart 2020

Antwoord

Hallo Marthe,

Ik begrijp jouw notatie niet helemaal, maar ik zie in ieder geval dat je vergissingen maakt met min-tekens, haakjes en haakjes wegwerken.

Na y'=2q-4 heb je haakjes vergeten, dit moet zijn:

y'= 2q-4 $\to$ y-(q²-4q+3) = (2q-4)(x-q)

Na haakjes wegwerken kom je op:
y = -q²-2qx-4x+3

(De term +3 had jij ook, maar dat is een gelukje. Bij jou stond deze term eerst links zonder haakjes, rechts zou dat -3 moeten zijn. Jouw vergissingen met de haakjes en met het 'naar rechts halen' heffen elkaar toevallig op).

Je noteert ook dat moet gelden:

-p² = q²+8q+3

Maar hierbij is het min-teken voor q² opeens verdwenen.

Verder klopt de denkwijze wel. Als de raaklijnen aan elkaar gelijk zijn, moet dus:

2px = 2qx-4x en -p²=-q²+3

Je vindt: p=-¹/₄ en q=⁷/₄=1³/₄

Kortom: je denkwijze is goed, maar je moet zorgvuldiger zijn bij het uitwerken.

maandag 30 maart 2020

©2001-2024 WisFaq