[0,1] is samenhangend

Te bewijzen: [0,1] is samenhangend.

Bewijs van boek: stel van niet. Dat is er een niet lege strikte deelverzameling A van [0,1] die open en gesloten is. Er geldt dat het infimum en supremum van A bestaan. Bovendien geldt dat ze beide bevat zijn in A. Dus heeft A een vorm van een gesloten interval en dus kan A niet open zijn. Tegenspraak.

Mijn vraag: ik snap niet zo goed waarom zowel het supremum als infimum in A bevat zijn. Dat hoeft toch niet, alleen als supremum van A ook het maximum van A is?

Jan
Student universiteit - dinsdag 10 maart 2020

Antwoord

Het bewijs in het boek klopt niet helemaal.
Het klopt dat $\sup A$ en $\inf A$ tot $A$ behoren, omdat $A$ gesloten is. Immers $\inf A$ en $\sup A$ zitten in de afsluiting van $A$.
Daaruit volgt echter niet zonder meer dat $A$ een gesloten interval is. Verder zou een gesloten interval best open kunnen zijn: namelijk $[0,1]$ zelf is open in $[0,1]$.
Verder wordt nergens in het bewijs gebruikt dat $A$ niet gelijk is aan $[0,1]$.

kphart
dinsdag 10 maart 2020

©2001-2024 WisFaq