Wat is wél de juiste procedure?

Gegeven is een interval $I=[a,b]$ met $b$>$a$ en beide reëel. Er geldt dat $f,g$ twee reëel waardige functies continu zijn op dit interval. Bovendien geldt er $f(x)=g(x)$ voor alle $x \in [a,b] \cap$ $\mathbf{Q}$. Toon aan dat $f=g$, met behulp van een epsilon-delta bewijs.

Mijn poging:

Zij $\epsilon>0$. Laat $c$ een irrationaal getal zijn in het interval $[a,b]$. Dan kunnen we altijd een $\delta>0$ vinden zodanig dat er een rationaal getal $x$ is in $[a,b] \cap ]c-\delta, c+\delta$. Immers, $\mathbf{Q}$ is dicht in $\mathbf{R}$. Dus volgt dat $|f(x)-g(x)| = 0 < \epsilon$.

Echter is dit bewijs nog niet goed omdat ik een eis op $x$ leg, terwijl het voor alle $x$ in de doorsnede moet gelden. Wat is wél de juiste procedure?

Jan
Student universiteit - dinsdag 3 maart 2020

Antwoord

Je kwantoren staan helemaal verkeerd. Je doet verder ook niets met de $c$; het lijkt me dat je juist voor die (irrationale) $c$ wilt bewijzen dat $f(c)=g(c)$. Dan kan de conclusie dat $f(x)=g(x)$ nooit het eind van het bewijs zijn; wat zegt dat dan over $c$? En kies je die $\delta$ ook maar willekeurig? En waar gebruik je de continuïteit van $f$ en $g$?

Je begint met een irrationale $c$ en gaat bewijzen dat $f(c)=g(c)$. Dat kun je doen door voor elke positieve $\varepsilon$ te laten zien dat $|f(c)-g(c)|<\varepsilon$.
Neem dus $\varepsilon>0$ willekeurig. De continuïteit van $f$ en $g$ geeft je een positieve $\delta$ zó dat voor elke $x$ met $|x-c|<\delta$ geldt dat $f(x)-f(c)|<\varepsilon$ en $|g(x)-g(c)|<\varepsilon$.
Neem nu een rationale $x$ met $|x-c|<\delta$ en bewijs met behulp van die $x$ en de driehoeksongelijkheid dat $|f(c)-g(c)|<2\varepsilon$.

kphart
dinsdag 3 maart 2020

©2001-2024 WisFaq