Samenstelling van operaties in het Euclidisch vlak

Gegeven is een driehoek ABC in het Euclidisch vlak. We bekijken de volgende samenstelling van operaties: Voer eerst een rotatie met hoek om het punt A. Voer daarna een lijnspiegeling in de lijn BC uit.

Gevraagd wordt om deze samenstelling te schrijven als een enkele spiegeling of enkele translatie of enkele rotatie of ten slotte als een enkele glide-spiegeling.

Ik ben zelf tot de conclusie gekomen dat het ofwel een enkele spiegeling ofwel een enkele glide-spiegeling moet zijn omdat de samengestelde operatie een indirecte isometrie is. Echter lukt het niet om vast te stellen welke het is. Het beste waar ik op kan komen is namelijk een translatie om de vector 2(b - a) Gevolgd door een spiegeling om de lijn loodrecht op BC. Maar dit gaat volgens mijn tekeningen is dat ook nét niet correct.

Ik ben ondertussen verder gekomen in mijn oplossing. Echter lukt het nét niet om het laatste geval te bewijzen waar ik graag hulp bij wil. Nogmaals de situatie:

Zij $\triangle ABC$ in het Euclidische vlak $\mathbb{E}^2$. Laat de punten A,B en C gegeven worden door respectievelijk ${a}, {b}$ en ${c}$. Definieer $m$ als de lijn door $B$ orthogonaal de lijn gevormd door $B$ en $C$. Er geldt dat Sp$_{BC}$ $\circ$ PSp$_A =$ Sp$_m$ $\circ$ Tr$_{2({b-a})}$. Nu hoef ik alleen te bewijzen dat deze twee isometrieën in slechts twee verschillende punten gelijk zijn aan elkaar (omdat er aan beide kanten een indirecte isometrie staat).

Als eerste punt koos ik $B$. Dit bewijs gaat triviaal. Als tweede punt heb ik $A$ gekozen, alleen het bewijzen dat deze operaties hetzelfde doen gegeven $A$ blijkt heel lastig. Zelfs als ik dit in coördinaten zou uitschrijven. Hoe pak ik dit aan? Ik vermoed dat een ander punt handiger is, echter weet ik niet hoe ik dat punt zou moeten vinden.

Jan
Student universiteit - zaterdag 22 februari 2020

Antwoord

'Triviaal' is een woord dat je niet moet gebruiken in een oplossing; daar zet ik een rode streep bij. Laat maar zien hoe het werkt voor $B$ dan. Als je dat goed doet zul je zien dat, met $B_1=\mathrm{PSp}_A(B)$, $A_1=\mathrm{PSp}_A(A)$, $B_2=\mathrm{Tr}_{2(b-a)}$ en $A_2=\mathrm{Tr}_{2(b-a)}(A)$, geldt dat $B_1$ en $B_2$ symmetrisch liggen ten opzichte van $B$ en $A_1$ en $A_2$ ook. Verder ligt $A_1$ midden tussen $B_1$ en $B$, en $A_2$ midden tussen $B$ en $B_1$. Dus, als het voor $B$ triviaal is is het voor $A$ ook triviaal.

kphart
woensdag 26 februari 2020

©2001-2024 WisFaq