Werkstuk met cirkels en gelijke koorden

Hieronder de opgave en mijn oplossing waar ik toch niet helemaal tevreden over ben, omdat het een benadering betreft.

Gegeven: Rechte a en cirkels C1(M, R) en C2(N, r).
Gevraagd: Teken een rechte p // a waarvan (C1) en (C2) gelijke koorden afsnijden.

Oplossing:

a) Voorbereiding: empirisch werd vast gesteld dat hier een oplossing mogelijk is, als het middelpunt van de cirkel met de grootste straal, het laagst ligt t.o.v. de rechte a. Dus in bovenstaande
figuur is dat zeker het geval. Bovendien zal de gevonden oplossing het gevolg zijn van een soort iteratief proces.

b) Uitvoering: Zorg voor een gunstige uitgangspositien , nl. NT₂ $>$ MT₁ met r $>$ R. Stel dan MT₁ = d₁ en NT₂ = d₂, dan noteren we de voorwaarde uit de voorbereiding als d₂ - d₁ $>$ 0 en r $>$ R.

Teken een schaar van evenwijdige rechten met de rechte a. Deze snijden koorden af van de cirkels (C₁) en (C₂). We stellen hierbij vast dat K₁L₁ $>$ P₁Q₁, K₂L₂ $>$ P₂Q₂, K_ L_ $>$ P₃Q₃ maar KL₄ $<$ P₄Q₄, K₅L₅ $<$ P₅Q₅, enz...

Dus tussen g₃ en g₄ alsook tussen h₃ en h₄ zit er een koorde KL resp. PQ die beide op de rechte p // a liggen, waarvan men kan zeggen dat KL = PQ. De rechte p // a snijdt dus gelijke koorden af van (C₁) en (C₂).

Het volstaat hiervoor om op de figuur K₃Q₃Q₄K₄, dat overeenstemt met een trapezium, de middenparallel aan te brengen om aldus die rechte p te vinden.

c) Bewijs: Daar de kleine en de grote basis van het trapezium evenwijdig zijn met a, zal de middenparallel p dat ook zijn.

d) Bespreking: → d₂ - d₁ $>$ 0 ∧ r $>$ R : juist één oplossing.
→ d₁ - d₂ $>$ 0 ∧ R $>$ r : juist één oplossing.
→ MN // a ∧ R ≠ r: geen oplossing mogelijk.
→ MN // a ∧ R = r: oneindig veel oplossingen; elke evenwijdige p aan a die beide cirkels snijdt, zal gelijke koorden afsnijden.

VRAAG: Is het hier mogelijk een exacte oplossing te vinden en dus niet een benadering. Indien dit toch mogelijk zou zijn in dit werkstuk, had ik graag een tip gekregen. Bedankt bij voorbaat!

Yves D
Iets anders - maandag 3 februari 2020

Antwoord

Beste Yves,

Heb je het volgende al eens geprobeerd?
Projecteer $M$ loodrecht naar $M'$ op $NT_2$. Teken $C_3(M',R)$.
Wat weet je dan over de lijn door de snijpunten van $C_2$ en $C_3$?

Met vriendelijke groet,

maandag 3 februari 2020

©2001-2024 WisFaq