Wiskundige notaties in de klassieke meetkunde

Ik ben wiskunde docent in opleiding en hiervoor het vak Meetkunde aan het doen. Ik snap de tekst en het ruimtelijke beeld etc, echter ben ik niet bekend met de notaties die ze gebruiken.

Ik heb het geprobeerd op te zoeken, maar je krijgt niet zoveel zinnigs uit Google als je een teken probeert te beschrijven ;-)

Het volgende staat in het boek:
Een affiene ruimte bestaat uit een (niet–lege) verzameling A, een vectorruimte V en een afbeelding:



Mijn vraag gaat dus over de notatie van de onderste regel. Er staat nog meer informatie in het boek met betrekking tot deze afbeelding, maar omdat het hier dan erg langdradig wordt heb ik enkel dit uitgetypt. Mocht dit toch nodig zijn, hoor ik het graag. P is in ieder geval element van A en v is element van V

Ik heb de vragen hieronder even genummerd.

1. Wat betekent die x? in mijn hoofd lees ik het uitproduct maar dat zal hier wel niet het geval zijn.

2. Ik neem aan dat de pijltjes iets zeggen over 'waarop' de afbeelding is afgebeeld? Het tweede pijltje is net iets anders dan de eerste en heeft een (klein) verticaal staafje aan het begin van de pijl. Zoiets /$\to$ (maar dan verticaal)
Wat betekenen ze precies?

3 Wat betekent A,(v,P)? Is (v,P) hier het inproduct van v met P?

4. En dan natuurlijk v $
\oplus
$ P nog. Is dit een gewone 'plus'? Als in de termen in de vectoren worden bij elkaar opgeteld?

Hopelijk is mijn vraag duidelijk :)

Marloe
Student universiteit - zondag 19 januari 2020

Antwoord

1. De $\times$ staat voor Cartesisch product: $V\times A$ is de verzameling geordende paren $(v,P)$ met $v\in V$ en $P\in A$.

2. De eerste pijl $\to$ geeft aan dat er een (anonieme) afbeelding van $V\times A$ naar $A$ gedefineerd wordt; de tweede pijl $\mapsto$ geeft aan wat met een individueel element van $V\times A$ gebeurt: het beeld van $(v,P)$ is $v\oplus P$. Zo definieer ik ook wel eens functies: "$f:[0,1]\to[0,1]$ gedefinieerd door $f:x\mapsto x^2$".

3. Dat is slechte type-setting: er zou (veel) meer ruimte tussen de eenheden "$V\times A\to A$," en "$(v,P)\mapsto v\oplus P$" moeten staan (en hierboven is al verteld dat $(v,P)$ een geordend paar is).

4. De $\oplus$ is eigenlijk de anonieme afbeelding die ik hierboven noemde; er had ook kunnen staan: "een afbeelding $f:V\times A\to A$, waarbij we $f(v,P)$ noteren als $v\oplus P$". Op dat moment betekent $\oplus$ nog niets, hoewel de plus sterk iets als optellen suggereert. Belangrijk zijn de eisen die daarna volgen: (a), (b) en (c); als $\oplus$ aan die eisen voldoet mag je van een affiene ruimte spreken (en anders niet).

Er hadden we wat voorbeelden mogen staan. Neem $V=\mathbb{R}$ en voor $A$ de lijn in het vlak met vergelijking $2x+3y=5$. Definieer $f:\mathbb{R}\times A\to A$ door $f(r,v)=v+r(3,-2)$ (dus $r\oplus(x,y) = (x+3r,y-2r)$). Dit voldoet aan alle eisen, ga maar zorgvuldig na.

kphart
maandag 20 januari 2020

©2001-2024 WisFaq