Kromme met poolcoördinaten

Stel dat we een kromme hebben dat een ellips is, waarbij begin en eindpunt op de oorsprong zitten (twee-dimensionaal). Stel dat we in poolcoördinaten zien dat de ellips beschreven kan worden door r=f(θ), dus r is een functie van θ. Gevraagd is dan een booglengte van deze ellips.

Bij de uitwerkingen wordt geen gebruik gemaakt van de Jacobiaan r² die bij deze coordinaten-transformatie hoort. Er wordt bij de uitwerkingen gezegd dat we een infinitesimaal stuk ds bekijken van de kromme. Deze is dan te schrijven als sqrt(dx² + dy²).

Daarna wordt gezegd dat we de afgeleide van x = f(θ) cos θ nemen en die van y = f(θ) sin θ. Dit pluggen we in plaats van dx en dy, waardoor we resulteren met sqrt( (f'(θ))² + (f(θ))² ). Daarna wordt er simpelweg geïntegreerd ten opzichte van dθ. Maar waar is de Jacobiaan gebleven? We werken nu toch niet meer met x en y maar met r(θ) en θ?

Sean
Student universiteit - dinsdag 7 januari 2020

Antwoord

Je moet wel twee dingen goed onderscheiden: gebiedsintegralen en lijnintegralen.
Als je een gebiedsintegraal omzet in poolcoördinaten komt inderdaad de Jacobiaan tevoorschijn (en die is $r$, niet $r^2$):
$$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}(x,y) = \iint_E f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,\mathrm{d}(\theta,r)
$$Bij de booglengte integreer je de functie $1$ over de kromme: $\int_C 1\,\mathrm{d}s$. Die integraal breng je terug tot een gewone integraal door te parametriseren: $t\mapsto (x(t),y(t))$. Je krijgt dan
$$\int_a^b 1\cdot \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =
\int_a^b 1\cdot\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}\,\mathrm{d}t
$$De rol van de Jacobiaan wordt hier eigenlijk gespeeld door

$\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}$.

Wat in het voorbeeld is gedaan is dit uitwerken voor een parametrisering van de vorm $\theta\mapsto f(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)$, dus met $x(\theta)=f(\theta)\cos\theta$ en $y(\theta)=f(\theta)\sin\theta$. Het enige wat daar gedaan is is $x'(\theta)^2+y'(\theta)^2$ netjes uitwerken.

kphart
woensdag 8 januari 2020

©2001-2024 WisFaq