Logaritmes en `continued fractions`

hallo,

een nummerlijn: ...134,135,136,137,138,139,140,141,142,143...

139/138 approx. 2^(1/96)
140/137 approx 2^(3/96) = 2^(1/32)
141/136 approx. 2^(5/96)
142/135 approx. 2^(7/96)
143/134 approx 2^(9/96) = 2^(3/32)

mijn vraag: is dit 'toevallig' of gebeurt het vaker?
alvast bedankt en fijne dagen,

Greg R
Ouder - maandag 23 december 2019

Antwoord

Het is me niet duidelijk wat je met `dit' bedoelt; ik vermoed het bijna-lineaire gedrag van de logaritme. Taylorpolynomen kunnen hierbij helpen. Er geldt
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots
$$als $|x| < 1$. Voor je vraag hebben we genoeg aan een gevolg:
$$x > \ln(1+x) > x-\frac{x^2}2
$$Je hebt hier achtereenvolgens $\frac1{136}$, $\frac3{137}$, $\frac5{136}$, $\frac7{135}$, en $\frac9{134}$ als waarde voor $x$.
In alle gevallen is $\frac12x^2$ kleiner dan $0{,}5\times10^{-3}$. Dus het verschil tussen $x$ en $\ln(1+x)$ is relatief klein.
Omdat
$${}^2\log x = \frac{\ln x}{\ln 2}
$$krijg je goede benaderingen van ${}^2\log(1+x)$ door $x$ door $\ln2$ te delen. Als je $\ln2$ benadert met $0{,}69$ of zelfs $0{,}7$ dan zit je al heel dicht bij je gevonden logaritmen/exponenten.

Zie Wikipedia: Taylorreeks

kphart
woensdag 25 december 2019

©2001-2024 WisFaq