Constructie cirkel rakend aan een zijde van een driehoek

Opgave: Gegeven is een willekeurige driehoek ABC en een lijnstuk met lengte r. Construeer dan een cirkel (K) met straal r, die raakt aan de zijde BC en van de zijden AC en BC gelijke stukken k afsnijdt (k is niet gegeven!).

Voorlopige oplossing: Daar (K) moet raken aan AB zal het middelpunt van die cirkel moet liggen op een rechte p // AC op een tussenafstand r (zie figuur: BQ = r). De rechte p kan worden opgevat als een eerste 'voortbrengende'.

Kies een punt N gelegen op p en teken de cirkel K'(N, r), dan raakt die cirkel aan AB in T en snijdt die cirkel op AC het stuk AD' en op BC het stuk BE'. (in principe zijn er nog 3 mogelijke keuzen, nl. CD' en CE' resp. AD' en CE' alsook CD' en BE'. Strikt genomen zijn er VIER gevallen te onderzoeken.

Visueel is te zien dat BE' toeneemt en AD' afneemt als N naar links beneden beweegt op p. Als N naar rechts boven beweegt op p gebeurt net het omgekeerde (BE' verkleint en AD' vergroot).
Hieruit kan men afleiden dat er op een bepaald moment een stand van N op p, nl. M, zal worden gevonden waarbij D' resp. E' de stand D resp. E inneemt én AD = BE. In GeoGebra kan men vrij eenvoudig deze simulatie uitvoeren en bekom je zo bijgaande figuur waarbij (K) beantwoordt aan de gestelde eisen. Ik ben er mij van bewust dat deze "benaderingstechniek" kan worden gezien as voorbereiding van de oefening maar niet de correcte uitvoering is! Er ontbreekt nog een 2e voortbrengende onder de vorm van een rechte (of misschien een cirkel) die de eerste voortbrengende snijdt.

Hiermee kan men dan achteraf ook gemakkelijker een bewijs van de constructie vinden en kan men ook een bespreking toevoegen wanneer er al dan niet een oplossing is.

VRAAG: Hoe slaag ik er in een tweede 'voortbrengende' te vinden, die de eerste 'voortbrengende' , nl. p, snijdt in het punt M, waardoor de cirkel K(M, r) raakt aan AB én gelijke stukken k afsnijdt op AC en BC?

Nogmaals hartelijk dank voor uw tussenkomst! Zie ook bijgaande figuur, die ik via mail doorstuur

Yves D
Iets anders - vrijdag 4 oktober 2019

Antwoord

Beste Yves,

Hint:
Neem een punt $X$ op een van de bissectrices (binnen- of buiten-) van hoek $C$. Teken een cirkel $\mathcal{K}$ met middelpunt $X$ die $BC$ snijdt. Waarom snijdt deze ook $AC$? Waarom zijn de afgesneden stukken van $AC$ en $BC$ even lang?

Succes.

Groeten,

vrijdag 4 oktober 2019

Re: Constructie cirkel rakend aan een zijde van een driehoek

©2001-2024 WisFaq