Limiet bepalen

Beste wisfaq,

Mijn vraag gaat over het bepalen van deze limiet:

limiet als x naar 1 gaat van

(ln(x²+1) - ln(2)) / (x - 1)

Ik dacht zelf dat je deze limiet kon bepalen door het te herkennen als de definitie van de afgeleide van de functie ln(x²+1) op het punt x=1, maar mijn vraag is: zou je deze limiet ook kunnen bepalen door het algebraisch om te schrijven? (er mag geen gebruikt worden gemaakt van lhopital)

Alvast bedankt.

Max Ka
Student universiteit - zondag 15 september 2019

Antwoord

Inzien dat je met de afgeleide in $x=1$ te maken hebt vindt ik prima.
Je kunt de zaak ombouwen tot een bekende limiet maar dat ziet er wat over dreven uit: substitueer $u=x=1$ (dus $x=u+1$) en je krijgt
$$\frac{\ln(1+u+\frac12u^2)}{u+\frac12u^2}\cdot (1+\frac12u)
$$(werk dat zelf zorgvuldig uit). Nu heb je een product van twee limieten, voor $u\to0$. De tweede is makkelijk en de eerste kun je via $w=u+\frac12u^2$ omzetten in
$$\lim_{w\to0}\frac{\ln(1+w)}{w}
$$en dat is een standaardlimiet.

kphart
zondag 15 september 2019

©2001-2024 WisFaq