Vaasmodel met 8 knikkers

Geachte heer,

Ik probeer een opgave op te lossen, waarbij in een vaas 3 blauwe en 5 rode knikkers zijn, in totaal dus 8 knikkers.

Er wordt 3 keer aselect zonder terugleggen uit de vaas getrokken.

De vraag is namelijk om de kans te berekenen wanneer :

1. de 3e knikker een blauwe knikker is.
2. 2 rode en een blauwe knikker worden getrokken.

voor de 1e heb ik namelijk berekend (3 boven 1 x 5 boven 2) / 8 boven 3 = 30/56.

Echter bij de 2e heb ik moeite om het antwoord uit te rekenen, ik had een idee dat ik P(2 rode) moet uitrekenen en dan P(1 blauwe) daarna deze afzonderlijke kansen moet optellen...

Graag wil ik hierbij uw hulp vragen, bijvoorbaat dank ik u voor uw medewerking,

Radjan

Radjan
Ouder - dinsdag 2 juli 2019

Antwoord

Beste Radjan,

Bij de eerste vraag heb je beantwoord wat de kans is dat één van de drie knikkers blauw is, niet dat precies die derde knikker blauw is. Wat je bij de tweede vraag deed lijkt op wat het moet worden voor de eerste.

Om de eerste vraag te beantwoorden, zou je moeten kijken naar de mogelijkheden:

• eerst twee rode, dan een blauwe
• eerst een rode en een blauwe, dan weer een blauwe
• drie blauwe

De kans op eerst twee rode en dan een blauwe splitsen we. Eerst twee rode is dan $\eqalign{\frac{\binom 52}{\binom 82} = \frac {5}{14}}$. Vervolgens is de kans op een blauwe nog $\eqalign{\frac{\binom 31}{\binom 61} = \frac 12}$. Om die te combineren moet je vermenigvuldigen. Denk daarbij aan het regeltje "en is keer, of is plus" (eerst twee rode én dan een blauwe). Dus het wordt: $\eqalign{\frac {5}{14} \cdot \frac 12 = \frac {5}{28}}$.

De kans op eerst een rode en een blauwe en dan als derde nog een blauwe gaat net zo: $\eqalign{\frac{\binom 51 \cdot \binom 31}{\binom 82} \cdot \frac{\binom 21}{\binom 61} = \frac {5}{28}}$. (Let op: voor die laatste blauwe zijn er nu nog maar twee over).

Tenslotte is de kans op drie blauwe natuurlijk $\eqalign{\frac{\binom 33}{\binom 83} = \frac{1}{56}}$.

Die drie kansen zijn "of", dus opgeteld: $\eqalign{\frac {5}{28} + \frac {5}{28} + \frac {1}{56}= \frac 38}$. Hé, dat is precies de kans dat je een blauwe knikker trekt bij trekking van één knikker... Toeval?

Voor je tweede vraag, zoals ik hem lees, gaat het niet om eerst twee rode en dan een blauwe, maar gewoon in totaal twee rode en een blauwe. Maar om dat zeker te weten moet je de tekst goed lezen. Bij de kansen hierboven heb je denk ik de aanpak voor deze ook gezien.

Mocht je hierover nog vragen hebben, laat het weten.

Met vriendelijke groet,

dinsdag 2 juli 2019

©2001-2024 WisFaq