Bepaal de rest

OPGAVE:
f(x) geeft bij de deling door x+1 rest 10, bij de deling door x rest 5 en bij deling door x-2 rest 13. Bepaal de rest van de deling door x(x+1)(x-2).

WAT IK AL HEB:
f(x)=d(x)·q(x)+r(x) met graad (r(x)) $<$ graad (d(x))
of r(x)=0

f(x)=x(x+1)(x-2)·q(x)+r(x) met graad (r(x)) $<$
graad (x(x+1)(x-2) of r(x) = 0

met graad (r(x)) $<$ 3
of r(x) = 0

Nu is het normaal de bedoeling om r(x) te bepalen, in de klas hebben we alleen nog maar voor voorbeelden gezien van oefeningen waar de graad van de rest kleiner moest zijn dan 2 en dan konden we daarop uitmaken: r(x) = ax+b
Daarna kan ik verder werken

Maar ik vroeg mij nu af als de graad van de rest kleiner moet zijn dan 3 (zoals in bovenstaande oefening) hoe we r(x) dan moeten bepalen. Ik dacht eerst aan r(x)= ax²+bx+c, maar ik denk dat dat klopt of wel?

Alvast bedankt!

Sanne
2de graad ASO - zaterdag 11 mei 2019

Antwoord

Beste Sanne,

Je hebt $f(x)=x(x+1)(x-2)\cdot q(x)+r(x)$ met $\mathrm{graad}(r(x))$<$3$.

Verder weet je dat bij deling door $x+1$ de rest 10 moet zijn. Dat betekent dat $r(x)=(x+1)\cdot t(x) + u(x)$ moet zijn met $\mathrm{graad}(u(x))$<$1$, dus $u(x)$ is een constante (graad 0) oftewel $u(x)=10$. Maar dat betekent dat $r(-1)=(-1+1)\cdot t(x)+ 10=10$.

Op dezelfde manier weet je dat $r(0)=5$ en $r(2)=13$.

Met deze drie functiewaarden $r(-1)=10$, $r(0)=5$ en $r(2)=13$ kun je een kwadratische (of lagere graad) formule vinden voor $r(x)$. Lukt dat verder?

Met vriendelijke groet,

zaterdag 11 mei 2019

©2001-2024 WisFaq