Wanneer is een bol open of gesloten

Beste wisfaq,

In de tweedimensionale dimensie hebben we de volgende set B((1,2);2), wat betekent het middelpunt van de cirkel is (1,2) met radius 2.

De vraag is om te bepalen of dit een gesloten of open set is?, bovendien of het bounded of unbounded is. En als laatste of het compact is.

hebben jullie een idee hoe je dit moet aanpakken?

Alvast bedankt

Jaap
Student universiteit - maandag 29 april 2019

Antwoord

Stap 1: schrijf de correcte definitie van $B((1,2);2)$ op, dat is zeker niet "wat betekent het middelpunt van de cirkel is $(1,2)$ met radius $2$" want dat betekent niets.

Stap 2: schrijf de definitie van `open' en `gesloten' op, die kunnen van boek tot boek verschillen, dus het is belangrijk dat we weten welke definities hier gebruikt worden.

Stap 3: denk na over wat het betekent dat $B((1,2);2)$ aan de definitie van `open' voldoet (of aan de definitie van `gesloten').

Stap 4: probeer nu aan te tonen dat $B((1,2),2)$ aan de desbetreffende definitie voldoet.

---

Vermoedelijk is $B((1,2);2)$ gedefinieerd als
$$
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(x-1)^2+y-2)^2} < 2\}
$$En "$U$ is open" als "voor elk punt $(a,b)\in U$ is er een $r > 0$ zó dat $B((a,b);r)$ een deelverzameling van $U$ is".

Een bewijs dat $B((1,2);2)$ open is verloopt dat als volgt: neem een (willekeurig) punt $(a,b)$ in $B((1,2);2)$, maak hierbij een $r > 0$ met de eigenschap dat $B((a,b);r)\subseteq B((1,2),2)$; hierbij zul je gebruik moeten maken van het feit dat $\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2} < 2$. Als je die $r$ moet je netjes bewijzen dat hij doet wat hij doen moet.

kphart
maandag 29 april 2019

©2001-2024 WisFaq