Kansrekenen in reeksen en de interpretatie

Beste wiskundigen,

Bij het spelen van roulette is het redelijk eenvoudig om de kans te berekenen, alles is immers x/37 waarbij x staat voor het aantal getallen waar je op inzet.

Nu zit ik met het volgende vraagstuk:

ik zet in op een 'dozijn', zijnde 12 getallen, hierbij is mijn winkans per spel 12/37 ofwel ongeveer 32%. De kans dat er een reeks voordoet van 5 verliezen is dan gelijk aan 25/37^5 = ongeveer 14%. Nu is het zo dat ieder spel onafhankelijk draait en dat er dus ieder spel de kans weer 12/37 is; echter, het wordt steeds onwaarschijnlijker dat er geen winst optreed na 5, 10 of zelfs 15 spellen.

nu heb ik zelf becijferd dat de kans dat er na 15 spellen (rondes) nog geen winst is behaald gelijk is aan 0,28%.

de vraag is echter; is het nu zo dat één van de 358 reeksen van 15 er geen winst op treed? (= één keer in de 5.371 spellen)?

en de vervolgvraag: wanneer ik bijvoorbeeld start nádat een dozijn al 5 keer niet heeft gewonnen, is dan, wanneer ik de reeks tel vanaf spel één (waarbij ik dus pas begin te spelen bij spel zes) de kans nog steeds één op 358? want ik sluit al impliciet 5 spellen uit van 'deelname', verandert daardoor de kans?

En vervolgens, heeft het zin om pas na vijf spellen (verlies) 'in te stappen'? ik snap dat iedere draai onafhankelijk is, maar stel het volgende; ik kan 15 keer inzetten voordat ik blut ben, dus bij een reeks van 15 (wanneer start bij spel één) ben ik na 15 spellen blut als één van de 12 getallen waarop ik heb ingezet niet valt. Echter, wanneer ik start bij spel nr 6 van de reeks, ben ik pas bij spel 20 failliet, de kans dat er 20x achter elkaar geen winst optreed is kleiner dan de kans op 15x, en daarmee is de kans kleiner dat ik blut ga.

Graag hulp inzake bovenstaand vraagstuk, een korte uitleg erbij zou tevens helpen voor mij om het geheel te kunnen begrijpen, alvast dank!

Reinou
Iets anders - maandag 1 april 2019

Antwoord

Hallo Reinout,

Allereerst: wanneer je erop uit bent om je winstkans te vergroten door te kijken naar vorige uitslagen en hierop een handige strategie te verzinnen, dan moet ik je teleurstellen. Het heeft geen enkele zin om je inzet af te laten hangen van het optreden van winst of verlies bij vorige spellen (ervan uitgaande dat de roulettetafel eerlijk is).

De kans op winst bij een spel is inderdaad 12/37, de kans op verlies is 25/37. Het klopt ook dat de kans op een reeks van 5 verliezen gelijk is aan (25/37)⁵$\approx$0,14, dus 14%.

De uitspraak 'het wordt steeds onwaarschijnlijker dat er geen winst optreed na 5, 10 of zelfs 15 spellen' is dubieus. Het ligt eraan wat je precies bedoelt.
Juist is: 'De kans dat geen winst optreedt in een reeks van 10 spellen is kleiner dan in een reeks van 5 spellen, de kans dat geen winst optreedt in een reeks van 15 spellen is nog kleiner'.
Maar het is niet zo dat de kans op opnieuw verlies steeds kleiner wordt wanneer er al een aantal keer achter elkaar verlies heeft plaatsgevonden. Ik illustreer dit met een voorbeeld:

1. De kans op 5 keer verlies is (25/37)⁵$\approx$0,14
   
2. De kans op 10 keer verlies is (25/37)¹⁰$\approx$0,02
   
3. Wanneer 5 keer verlies heeft plaatsgevonden, dan is de kans dat de volgende 5 spellen weer verlies opleveren opnieuw (25/37)⁵$\approx$0,14

Het verschil tussen 2) en 3) is dat bij 2) de gebeurtenis '10 keer verlies' mis kan gaan bij de eerste 5 spellen. Als bij de eerste 5 spellen minstens één keer winst optreedt, dan kan de uitkomst '10 keer verlies' niet meer optreden.
Bij 3) is al zeker dat 5 spellen verlies hebben opgeleverd. De kans op de gebeurtenis '10 keer verlies' is hiermee vergroot: er hoeven nog maar 5 spellen verlies op te leveren, deze kans is de bekende (25/37)⁵$\approx$0,14. We noemen dit voorwaardelijke kans:

De kans op 10 keer verlies is (25/37)¹⁰$\approx$0,02
De kans op 10 keer verlies, onder de voorwaarde dat de eerste 5 spellen verlies opleveren, is (25/37)⁵$\approx$0,14

Een nog eenvoudiger voorbeeld is het 10 keer opgooien van een muntje:

1. De kans op 9 keer kop is (1/2)⁹=1/512.
   
2. De kans op 10 keer kop is (1/2)¹⁰=1/1024.
   
3. De kans op de 10e keer kop, onder de voorwaarde dat de eerste 9 keer al kop waren, is 1/2. De kans dat de eerste 9 keer kop oplevert, is heel klein (1/512). Maar als dit is gebeurd, dan is de kans dat ook de 10e keer kop oplevert 1/2.

Dan de vraag: "Is het nu zo dat één van de 358 reeksen van 15 er geen winst optreedt?". Dit is te slordig geformuleerd. Beter is:
"Gemiddeld zal in één van de 358 reeksen van 15 spellen geen winst optreden."

Tot slot: het heeft geen zin om in te stappen wanneer toevallig een aantal keer geen winst heeft plaatsgevonden. Na elk spel zijn de kansen op dezelfde manier verdeeld als voor dat spel.

maandag 1 april 2019

©2001-2024 WisFaq