Vergelijking van een kromme bepalen

Beste,
ik heb een vraag over het verloop van veeltermfuncties.

Gegeven: f(x)=x³ + mx² waarbij m niet 0 mag zijn. Elke functie van deze familie heeft twee extrema's, waarvan altijd eentje op (0,0).
Gevraagd: bepaal de vergelijking van de kromme waarop alle andere extrema liggen.

De eerste afgeleide heb ik, f'(x)=x(3x+2m)
Dus er is inderdaad een extremum voor x=0. Het tweede extremum is x=-2m/3

De functiewaarde van f voor dit extremum is f(-2m/3)=4m³/27

Maar hoe kom ik nu aan de vergelijking van de kromme waarop alle extrema liggen?

Ik heb het antwoord y=-x³/2, maar ik begrijp de uitleg niet om tot deze vergelijking te komen.

ALvast bedankt.

Mvg,
Pandolien

Pandol
3de graad ASO - maandag 25 maart 2019

Antwoord

Beste Pandolien

Voor elke $m$ heb je een extremum in het punt met als coördinaten:
$$\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & -\frac{2}{3}m \\
y & = & \frac{4}{27}m^3
\end{array}\right.$$Je kan nu (de parameter) $m$ elimineren. Uit de eerste vergelijking volgt $m=\color{blue}{-3x/2}$ en substitutie daarvan in de tweede vergelijking geeft, na vereenvoudigen:
$$y=\frac{4}{27}m^3=\frac{4}{27}\left(\color{blue}{-\frac{3}{2}x}\right)^3=-\frac{4}{27}\frac{27}{8}x^3=\ldots$$Helpt dat?

mvg,
Tom

maandag 25 maart 2019

©2001-2024 WisFaq