Bewijs voor maximaal aantal platonische lichamen

Eindelijk heb ik een bewijs gevonden dat er maar 5 platonische lichamen bestaan, maar er wordt 1 stap gemaakt die ik niet helemaal kan volgen, ik hoop dat u mij ff uit kunt leggen hoe het allemaal in elkar zit.

Bewijs:

In ieder hoekpunt komen x-regelmatige n-vlakken bij elkaar, met k en n $\geq$3. We geven een platonisch lichaam aan als (n,k). De totale som van de hoeken in een hoekpunt is $<$ 2 $\pi$ , (tot hier snap ik het nog maar nu)
zodat k.(n-2/n). $\pi$ $<$2 $\pi$ , hieruit volgt (k-2)(n-2)$<$4.
Nou vraag ik me af hoe ze aan de eerste formule komen en hoe ze die ombouwen naar de 2de formule. Het vervolg van het bewijs snap ik wel weer. Vervolg: We zien nu eenvoudig dat de enige oplossingen zijn:
(n,k) = 3,3 3,4 3,5 4,3 5,3

alvast bedankt

ronald
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 maart 2003

Antwoord

Als je in een regelmatige n-hoek vanuit het middelpunt de stralen tekent naar de hoekpunten, dan ontstaan er n gelijkbenige driehoeken met tophoek 2$\pi$/n.
De som van de basishoeken is dan $\pi$ - 2$\pi$/n ofwel gelijk aan (n - 2)/n . $\pi$
In één hoekpunt komen er nu k van die hoeken samen met een totaalsom die kleiner is dan 2$\pi$. Ofwel: k.(n - 2)/n . $\pi$ $<$ 2$\pi$. Hiermee is de eerste formule gemaakt.
Je kunt nu sowieso delen door $\pi$ en vermenigvuldigen met n. Dat geeft k.(n - 2) $<$ 2n ofwel k.n - 2k $<$ 2n
Als je uitwerkt (k - 2)(n - 2) $<$ 4 krijg je kn - 2k - 2n + 4 $<$ 4 en dat is precies hetzelfde als wat je zelf gevonden had.

MBL
woensdag 19 maart 2003

©2001-2024 WisFaq