Meetkundige plaats van een beweegbaar punt

Opgave: ABCD is een ruit waarvan de diagonaal BD even groot als de resp. zijden. Een variabele rechte s door A snijdt BC resp. CD in E resp. F.

Bepaal dan de meetkundige plaats van het snijpunt P van de rechten DE en BF, als s wentelt rond A. Zie ook bijgaande figuur.

Ik kwam er snel grafisch achter dat als s door B resp. C en D gaat, het punt P dan samen valt met B resp. C en D. Deze drie punten behoren zeker al tot de meetkundige plaats. Bovendien is het zo dat drieheoek BCD een gelijkzijdige driehoek is (gevolg van het feit dat de diagonaal BD gelijk is aan BC = CD. Op basis van deze vaststellingen is het vermoeden heel sterk dat het punt P, voor een willekeurige stand van s, op de omgeschreven cirkel (Cmp) ligt van driehoek BCD.

Om dit aan te tonen bekeek ik volgende opties:

1/ probeer aan te tonen dat driehoek(BEP) ~ driehoek(CDE): als dit lukt stelt men vast dat de hoek(BPE) = hoek(BPD)= Cte = 60°. Dus P ligt op een cirkel!

2/ probeer aan te tonen dat de vierhoek(BPCD) een koordenvierhoek is, dan volgt hoek(P) = 120° resp. 60°, afhankelijk v.d. ligging van P; dus de hoek(P) = Cte.

VRAAG: Daar beide opties me niet lukten, had ik graag een tip gekregen waarmee ik bijv. via vlakke meetkunde kan aantonen dat het punt P op de omgeschreven cirkel ligt van driehoek(BCD). Bij voorbaat bedankt voor uw tussenkomst!

Opmerking: De omgekeerde versie: kies een punt Q op de rode omgeschreven cirkel (Cmp)dan correspondeert daar een rechte s(Q) mee die door A gaat, lukte wel.

Yves D
Iets anders - dinsdag 4 december 2018

Antwoord

Tja, met "hoeken jagen" ben ik heel snel gestopt. Daarom het volgende.
Ik bekeek de vierhoek DPBC (waarvan ik veronderstel dat de hoekpunten op een cirkel liggen) als de zeshoek DDPBBC.
Volgens de stelling van Pascal zijn dan de snijpunten van de lijnen
DD & BB = A (DD, BB zijn de raaklijnen in D, B aan de cirkel)
DP & BC = E
PB & CD = F
collineair.
Met een omgekeerde redenering zou je dus jouw probleem kunnen bewijzen.
Op de onderstaande website staat de connectie van de door mij genoemde (projectieve) stelling met de vlakke meetkunde.
Groet, DK

Zie De stelling van Pascal en Brianchon voor cirkels.

maandag 10 december 2018

©2001-2024 WisFaq