Meetkundige plaats hoekpunt rechte hoek winkelhaak

Gegeven is een rechte hoek XOY en een winkelhaak (hoeken: 30°, 60° en 90°) ABC, waarvan de uiteinden van de schuine zijde van die winkelhaak, rusten op OX (A) resp. OY (B). Als die uiteinden bewegen op OX resp. OY, dan is het de bedoeling te achterhalen wat de meetkundige plaats is van het punt C van de winkelhaak...

Daar de winkelhaak niet uitrekbaar is, en A resp. B op OX resp. OY moet rusten, zal de meetkundige plaats al zeker geen rechte zijn, maar vermoedelijk een lijnstuk of misschien een cirkelboog. Experimenteel bepaalde ik de uiterste standen C1 en C2 van de rechte hoek van de winkelhaak (deze zijn te zien in de figuur: A1B1C1, A2B2C2).

Ik tekende dan een willekeurig maar reële stand van de winkelhaak en legde het punt C vast. Mijn idee was: toon nu aan de hoek(C1,C,C2) een gestrekte hoek of 180° is, maar zoals u kan raden lukte dit mij niet.

Ofwel is deze denkpiste niet zinvol en moet ik het bijgevolg anders aanpakken?

Ik stelde ook vast dat als je het lijnstuk C1C2 doortrekt, deze lijn lijkt te passeren door het punt O. Maar ik kon er verder weinig mee doen.

VRAAG: Kan u mij helpen met een tip, om aan te tonen dat C gelegen is op het lijnstuk C1C2? Dank jullie wel voor de hulp.

Jan
Docent - donderdag 8 november 2018

Antwoord

Ik heb het met behulp van vectormeetkunde gedaan. Het werkt onafhankelijk van de hoeken. Voer coördinaten in: $A=(a,0)$, $B=(0,b)$, en de hoek bij $B$ noem je $\alpha$ (dan is de hoek bij $A$ gelijk aan $\frac12\pi-\alpha$.
Met behulp van de rotatiematrix
$$
\left(\begin{array}{cr}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)
$$kun je uitrekenen dat de vector $\overrightarrow{BC}$ gelijk is aan
$$
\binom{a\cos^2\alpha+b\cos\alpha\sin\alpha}{a\cos\alpha\sin\alpha-b\cos^2\alpha}
$$Dit levert de volgende plaatsvector voor $C$
$$
(a\cos\alpha+b\sin\alpha)\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}
$$alle $C$s liggen dus op een lijn door de oorsprong.

kphart
vrijdag 9 november 2018

Re: Meetkundige plaats hoekpunt rechte hoek winkelhaak

©2001-2024 WisFaq