Differentiaalvergelijking oplossen

Goede avond ,
Ik heb een Euler vergelijking als volgt gegeven:
x²y'+xy'-y=x

Ik stelkde x=e^z zodat z=lnx en pastte tweemaal de afgeleiden toe op z=lnx .Na wat rkeken kwam ik voor de homogenen oplossing uit:
y(h)=C(1)x+C(2)x^-1 of omgeschakeld naar x=e^z en z=lnx

Ik stel nu :
y(p)= u(1)ze^z+u(2)e^-z Eerste lid met e^z vermenigvuldigen omdat y =x=e^z ook in tweede lid voorkomt....
S:(( u'(1)ze^z+u'(2)e^-z=0 )) (1)
((u'(1)ê^z+u'(1)ze^z)-u'(2)e^-z: e^z)) met(e^z =x)(2)
Voor (1) neem ik de afgeleiden van u(1) en u(2) en in de tweede vergelijking neem ik de afgeleiden u'(1) en u'(2) over en dan bij u'(1)de afgeleide van d(ze^z'/dz= e^z+ze^z
en bij u'(2) de afgeleiden van d(e^-z)/dz= -e^-z
Ik krijg bij verdere behandeling geen passend resultaat dat (xlnx)/2 =(z(e^z)/2. zou moeten opleveren als particuliere oplossing.
Totaaloplossing zou dan moeten zijn:
C(1)x+(2)x^-1+(xlnx)/2
Ben ik dan niet goed bezig Of is het voorstel Y(p) niet goed ...
Vriendelijke groeten en graag wat uitleg als het kan..

Rik Le
Iets anders - woensdag 8 augustus 2018

Antwoord

Zo te zien haal je twee methoden door elkaar.
Bij variatie van constanten gebruik je de beide oplossingen van de homogene:
$$
y_p(z) = u_1(z)\cdot e^z + u_2(z)\cdot e^{-z}
$$Bij `geschikte vorm proberen' gebruik je alleen het rechterlid en de afgeleiden, eventueel met een macht van $z$ vermenigvuldigd als dat rechterlid een oplossing van de homogene is:
$$
y_p(z)=A\cdot ze^z
$$Bij variatie van constanten krijg je uiteindelijk $u_1'(z)=\frac12$ en dus $u_1(z)=\frac12z$.

kphart
donderdag 9 augustus 2018

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

©2001-2024 WisFaq