Lastige differentiaalvergelijking

Dag Wisfaq-team,
Vorm van de DV is Mdx+Ndy=0
(xe^x +xlny+y)dx+(x²/y+xlnx+xsiny)dy=0
Partïele afgeleiden van M en N zijn niet gelijk dus DV is niet exact
M part. = (x/y)+1
N Part.= 2x/y+lnx+1+siny
Om een Integratiefactor te vinden heb ik een breuk waarvan de teller het verschil is tussen de partiële afgeleiden van M en N en de noemer (x²y+xlnx+xsiny).
Deze breuk moet dan nog geïntegreerd worden via e, getal van Euler, in de macht (integraal f(x)).
En daar ga ik de mist in...
met:
(-x-(ylnx+ysiny)/(x²+(ylnx+ysiny)) en deze vorm moet in dan in de macht van E plaatsen voorafgegaan door een integrateken.
Graag was goede raad en enkele tips. Ben ik ergens fout gelopen?
Groetjes en bedankt bij voorbaat
Rik

Rik Le
Iets anders - zaterdag 9 juni 2018

Antwoord

Ik denk dat je naar de verkeerde soort integrerende factor zoekt; wat je beschrijft klinkt als de strategie die je bij eerste-orde lineaire differentiaalvergelijkingen volgt.
Die werkt hier niet: wat je probeert te integreren is een functie van $x$ en $y$ en hoe zou je die willen gaan integreren?
In dit geval zoek je een functie, $\phi$, van twee variabelen zo dat
$$
\phi M\,dx + \phi N\,dy=0
$$exact is.
Als je de partiele afgeleiden nu uitrekent krijg je deze vergelijking
$$
\phi_y\cdot M+\phi\cdot M_y = \phi_x\cdot N +\phi\cdot N_y
$$Als je goed naar het resultaat kijkt zul je zien dat je zo'n $\phi$ kunt maken als $\phi_y=0$ (dus $\phi$ hangt alleen van $x$ af) en $\phi_x=-\frac1x\phi$.

kphart
zaterdag 9 juni 2018

Re: Lastige differentiaalvergelijking

©2001-2024 WisFaq