Directe formules eindige reeksen

Zijn er voor alle (eindige) Reeksen in Sommatie vorm, directe formules te vinden?

P Hame
Docent - vrijdag 8 juni 2018

Antwoord

De wedervraag is dan: "wat is een directe formule?"
Hierbij zij opgemerkt dat veel formules die wij `direct' zouden noemen dat eigenlijk niet zijn. In bepaalde opzetten van de Analyse is dit de definitie van de exponentiële functie:
$$
\exp z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}
$$het linkerlid is dan niets meer dan een afkorting van het rechterlid.
Maar zelfs als we `$\exp z$' en andere middelbare-schoolfuncties als `bekend' veronderstellen dan nog blijven er veel reeksen over waarvan de som niet in termen van die functies is uit te drukken. Bijvoorbeeld
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^2}
$$de sommen van die en gerelateerd reeksen worden polylogaritmen genoemd maar daar worden ze niet meer `direct' van.
Er zijn heel veel reeksen waarvan de som belangrijk is en die daarom een eigen naam heeft gekregen; zo krijgen we speciale functies.

Wat eindige sommen betreft: voor sommigen is de som zelf al een formule, want het is een eindige uitdrukking ...
Maar ook hier gaat het vaak mis; voor de harmonische getallen, bijvoorbeeld, zijn geen overzichtelijke formules.

Er zijn wel gevallen waarin de eindige sommen tot `eenvoudige' uitdrukkingen zijn terug te brengen maar die zijn vaak speciaal. Zie bijvoorbeeld het boek $A=B$

kphart
vrijdag 8 juni 2018

©2001-2024 WisFaq