De meest opportune plaats in de rij

Er nemen 300 studenten deel aan een mondeling examen wiskunde waarbij de studenten een voor een het examen afleggen in het bureau van de professor. De professor had tijdens zijn laatste les de volgende afspraak gemaakt: de eerste student die een examen komt afleggen en die verjaart op een dag die de verjaardag is van iemand die het examen al afgelegd heeft, krijgt onmiddellijk 20/20. Als er zich buiten zijn bureau voor de start van de examens een rij aan het vormen is, als hoeveelste zou je dan aanschuiven om je kans op die 20/20 te maximaliseren? Veronderstel dat er 365 dagen in een jaar zijn en dat elke dag even waarschijnlijk is als verjaardag.

Boek vermeld spijtig genoeg geen oplossing

Mijn oplossing :

Stel n is het aantal voorgangers in de rij, m.a.w. ik bevind mij op positie n+1. Noteer P(n) de kans dat de n voorgaande personen niet op dezelfde dag verjaren en jijzelf op één van de n voorgaande verjaardagen verjaart.

P(0) = 0/365 = 0
P(1) = 365/365 x 1/365 = 1/365
P(2) = 365/365 x 364/365 x 2/365 = 364/365 x 2/365
P(3) = 365/365 x 364/365 x 363/365 x 3/365 = 364/365 x 363/365 x 3/365
.
.
.
P(n) = 365/365 x 364/365 x 363/365 x ... x (365-n+1)/365 x n/365

Formeel neergeschreven geeft dit :

P(n) = Product(i:1 tot n)[366-i]/365ⁿ x n/365
Product(i:1 tot n)[366-i] = 365 x product(i:2 tot n)[366-i]
$\Rightarrow$ P(n) = Product(i:2 tot n)[366-i] x n/365ⁿ
$\Rightarrow$ P(n) = 364!/(365-n)! x n/365ⁿ

Aangezien P(n-1) = 364!/(366-n)! x (n-1)/365^n-1 kan je volgend cursief voorschrift afleiden tussen P(n) en P(n-1) :
P(n) = (n/(n-1)) x ((366-n)/365) x P(n-1)
met n $\ge$ 2; P(0) = 0 en P(1) = 1/365
$\Rightarrow$ P(n)/P(n-1) = (-n² + 366n)/(365n-365) = f(n)

Er geldt:
P(n) $>$ P(n-1) indien f(n) $>$ 1
P(n) $<$ P(n-1) indien f(n) $<$ 1
P(n) = P(n-1) indien f(n) = 1

f(n) = 1 indien -n² + 366n = 365n - 365
of -n² + 366n - 365n + 365 = 0
of -n² + n + 365 = 0 (kwadratische vergelijking)

Discriminant = 1461 $>$ 0 $\Rightarrow$ 2 oplossing in n
n(+) $<$ 0 (geen geldige oplossing aangezien n $>$ 0)
n(-) $>$ 0 ; n(-) = 19,61151485

Er geldt nu dat P(17) $<$ P(18) $<$ P(19) en P(19) $>$ P(20) $>$ P(21)
maximale waar blijkt dus P(19) te zijn
$\Rightarrow$ de meest opportune plaats in de rij is aldus plaats n+1 = 20

Aangezien ik deze uitkomst nergens kan controleren is mijn vraag natuurlijk of dit fabrikaat correct is ?

Rudi
Ouder - zondag 22 april 2018

Antwoord

De strategie is prima en ik zie geen rekenfouten; ik kom ook op $n=19$ (en dus plaats $20$) uit.

kphart
zondag 22 april 2018

©2001-2024 WisFaq