Kansspel met twee dobbelstenen
An en Bob spelen een spel met twee eerlijke dobbelstenen die telkens samen geworpen worden. Het spel eindigt wanneer de som van de ogen na een worp gelijk is aan 12 of wanneer de som van die ogen in twee achtereenvolgende worpen gelijk is aan 7. An hoopt op een 12. Bob op twee keer na elkaar een 7. Wie heeft de hoogste winstkans ?
Mijn uitwerking :
De kans dat An een 12 (succes) werpt = 1/36 en de kans op geen succes = 35/36
De kans dat Bob twee keer na elkaar een 7 (succes) werpt = 6/36.6/36 = 1/36 en de kans op geen succes = 35/36
De kans op succes of geen succes is dus voor beiden hetzelfde.
Het lijkt mij een kwestie te gaan worden van wie er met het spel mag beginnen.
Stel dat An begint
Eerste poging van An : kans op succes = 1/36 en kans op geen succes = 35/36. Indien An geen succes heeft mag Bob zijn eerste poging wagen.
Eerste poging van Bob : kans op succes = 1/36.35/36 en kans op geen succes = 35/36.35/36. Indien Bob geen succes heeft mag An haar tweede poging starten.
Tweede poging van An : kans op succes = 1/36.35/36.35/36 en kans op geen succes = 35/36.35/36.35/36. Indien An geen succes heeft mag Bob zijn tweede poging starten.
Tweede poging van Bob : kans op succes = 1/36.35/36.35/36.35/36 en kans op geen succes = 35/36.35/36.35/36.35/36
En zo kan dit nog wel een tijdje blijven doorgaan totdat één van beide succes heeft.
De kans dat An als eerste succes heeft = 1/36 + 1/36.(35/36)2 + 1/36.(35/36)4 + ...
De kans dat Bob als eerste succes heeft = 1/36.35/36 + 1/36.(35/36)3 + 1/36.(35/36)5 + ...
Beide reeksen zijn meetkundige reeksen :
Som(n = 0;oneindig)arn met 0 $<$ r $<$ 1 = a/(1-r)
Voor An geeft dit : a = 1/36 en r = (35/36)2 $<$ 1 zodat de kans op succes = 1/36.(1/(1-(35/36)2) = 36/(362 - 352) =~ 50,70%
Voor Bob geeft dit : a = 1/36.35/36 en r = (35/36)2 $<$ 1 zodat de kans op succes = 1/36.35/36.(1/(1-(35/36)2)=35/(362-352) =~ 49,30% en dit is inderdaad = 100%-50,70%
An heeft als starter van het spel dus een iets grotere kans op succes.
Indien Bob met het spel zou starten dan zijn de kansen gewoon omgekeerd. Bob zou een kans van 50,70% en An een kans van 49,30% op succes hebben.
Klopt mijn redenering een beetje ? Het boek zelf geeft geen antwoord dus ik tast een beetje in het duister omtrent de juistheid van mijn oplossing.
Rudi
Ouder - donderdag 19 april 2018
Antwoord
Dag Rudi,
An en Bob spelen niet om beurten; er wordt geworpen en An wint van zodra er een 12 valt, Bob wint van zodra er twee zevens opeenvolgend werden geworpen. Je kan dat aanpakken met meetkundige reeksen maar je kan dat ook vermijden.
Ik omschrijf hieronder het verloop maar je kan dat makkelijker volgen door het tekenen van een boomdiagram met daarop de kansen aangeduid. Noem de kans dat An wint (het vallen van een 12, vóór opeenvolgende zevens) bijvoorbeeld $p$.
Er zijn drie mogelijkheden bij de eerste worp:
- een 12 (kans 1/36): An wint;
- geen 12 maar ook geen 7 (kans 29/36): deze worp doet er niet toe, An heeft vanaf de volgende worp weer kans $p$;
- een 7 (kans 1/6): het spel gaat verder.
In dit laatste geval moeten we ook naar de volgende worp kijken:
- een 12 (kans 1/36): An wint;
- geen 12 maar ook geen 7 (kans 29/36): An heeft vanaf de volgende worp weer kans $p$;
- een 7 (kans 1/6): An verliest.
Dit betekent dat we de kans $p$ dat An wint kunnen uitdrukken als:
$$p=\frac{1}{36}+\frac{29}{36}p+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{36}+\frac{29}{36}p\right)$$Hieruit kan je $p$ oplossen.
Zoals verwacht liggen de kansen dicht bij mekaar maar is er toch een licht voordeel voor An. Dat is niet verwonderlijk vermits An al bij de eerste worp kan winnen en Bob minstens twee worpen nodig heeft.
mvg,
Tom
donderdag 19 april 2018
©2001-2024 WisFaq
|