Hoe weet je dat elke Cauchy-rij convergent is?

Zou iemand kunnen uitleggen: Is elke Cauchy-rij convergent in de deelverzameling R. Normaal moet dit een eigenschap zijn van de Cauchy-rij. Heb gevonden dat dit de volledigheid in R is? Klopt dit? Hoe kan ik dit makkelijk aantonen en graag een voorbeeldje zodat ik het beter begrijp?

Amy
3de graad ASO - maandag 5 maart 2018

Antwoord

Ja, elke Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ is convergent, en dat betekent, per definitie, dat $\mathbb{R}$ (metrisch) volledig is.
Het bewijs berust op de orde-volledigheid van $\mathbb{R}$.
Laat $(a_n)_n$ een Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ zijn.
Stap 1: bewijs dat de verzameling $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ begrensd is. Hier pas je de Cauchy-eigenschap toe met $\epsilon=1$: er is een $N$ zo dat $|a_n-a_N| $<$ \epsilon$ voor $n\ge N$. Neem $M=\max\{1,|a_1-a_N|,\dots,|a_{N-1}-A_N|\}$; dan $a_N-M\le a_n\le a_N+M$ voor alle $n$.
Stap 2: bekijk de verzameling $A$ van $x$-en in $\mathbb{R}$ met de eigenschap dat er een $N_x$ is (afhankelijk van $x$) met $a_n $>$ x$ voor $n\ge N_x$. Die verzameling is niet leeg (elk getal kleiner dan $a_N-M$ zit in $A$) maar $a_N+M$ zit er niet in. Het getal $a_N-1$ hierboven zit ook in $A$.
Stap 3: neem het supremum van $A$ (de kleinste bovengrens), noem dat $a$. Dan geldt $a=\lim_n a_n$. Neem maar $\epsilon $>$ 0$ en neem $N_1$ en $N_2$ z\'o dat voor $n,m\ge N_1$ geldt $|a_n-a_m| $<$ \epsilon/2$ en voor $n\ge N_2$ geldt $a_n $>$ a-\epsilon$ (want $a-\epsilon$ zit in $A$). Omdat $a+\epsilon/2$ niet in $A$ zit is er een $m\ge\max\{N_1,N_2\}$ met $a_m\le a_\epsilon/2$. Dan volgt dat $a_n$<$a+\epsilon$ voor $n\ge\max\{N_1,n_2\}$.

Dit is zo ongeveer het eenvoudigste bewijs dat ik kan bedenken. `Eenvoudige' voorbeelden van Cauchyrijen zijn meestal overduidelijk convergent. Cauchyrijen worden vooral indirect gebruikt bij het bewijzen van stellingen.

Zie Wikipedia:Cauchyrij

kphart
maandag 5 maart 2018

©2001-2024 WisFaq