Scheiding van variabelen
Goedemorgen,
Ik ben bezig met het onderwerp 'scheiden van variabelen'. Ik snap het hele principe alleen ik loop steeds vast op dezelfde stap.
Onderstaand beginwaardeprobleem staat als voorbeeld in mijn boek:
y'(t) = 1-2y(t), y(0)=1
Als je hiermee door rekent kom je op een gegeven moment op:
·integraal·1/1-2ydy = ·integraal·1 dt
Tot hier begrijp ik het, maar hoe kom je vervolgens op de onderstaande formule (waar komt de -1/2 vandaan voor de ln)
-1/2ln(1-2y) = t + K
Hetzelfde geldt voor onderstaande opdracht (hoe kom je aan de '-' voor -ln(5-H) = 0,8t + K?)
Voor deze opdracht moet ik H(t) zelf opstellen aan de hand van H'(t)=0,8(5-H(t)) en H(0) = 0
De stap die ik niet snap is die van:
·integraal·1/5-HdH = ·integraal·0,8dt
naar:
-ln(5-H) = 0,8t + K
Alvast bedankt!
B
Student universiteit - dinsdag 6 februari 2018
Antwoord
Hallo B,
Je kunt snel zien dat deze -1/2 nodig is wanneer je de gevonden primitieve weer differentieert. Je moet dan de oorspronkelijke functie terugkrijgen:
f(y) = 1/(1-2y)
F(y) = -1/2ln(1-2y)+C geeft:
F'(y) = -1/2·1/(1-2y)·-2
Die laatste -2 is het gevolg van de kettingregel. Deze factor -2 stond niet in de oorspronkelijke functie, samen met de factor -1/2 wordt dit netjes 1.
In het algemeen: je weet: f(x)=1/x geeft als primitieven F(x)=ln|x|+C.
Wanneer de noemer een lineaire functie van x is, dus:
f(x)=1/(ax+b), dan vind je als primitieven:
F(x)=p·ln|(ax+b)|+C. Je kunt de waarde van a berekenen met 'terugdifferentiëren': F'(x)=f(x). Je vindt: p=1/a. Dit is een beetje houtje-touwtje-methode, maar het werkt wel.
Iets netter is het gebruik van de substitutiemethode:
Stel u=1-2y, dan is du/dy=-2, dus dy=-1/2·du
Dit vullen we in de opgave in:
1/(1-2y)·dy = 1/u·-1/2·du = -1/2·1/u·du
Primitieven zijn dan:
-1/2·ln|u|+C
dus:
-1/2·ln|1-2y|+C
OK zo?
dinsdag 6 februari 2018
©2001-2024 WisFaq
|