Continue partiële afgeleiden

f: $\mathbf{R}$² $\to$ $\mathbf{R}$ Veronderstel dat de determinant van de Hessiaan van f overal positief is en dat ook tweede partiële afgeleide x = D²11 f(x) $>$ 0 voor alle x element van $\mathbf{R}$².

Hoe moet je dan aantonen dat voor alle x element van $\mathbf{R}$²:
f(x) $>$ f(a) + D1 f(a) (x₁-a₁) + D2 f(a) (x₂-a₂) ? (en wat betekent dit meetkundig?)

j
Student universiteit - donderdag 18 januari 2018

Antwoord

Wat het meetkundig betekent lijkt me duidelijk: de grafiek van $f$ ligt boven elk raakvlak van zijn grafiek (behalve telkens in het raakpunt natuurlijk, bij wat je aan moet tonen moet wel gelden dat $x\neq a$).
Dit heeft te maken met de stelling van Taylor voor meer verandelijken, in dit geval moet je gebruiken dat
$$
f(x)= f(a)+D_1f(a)(x_1-a_1)+D_2f(a)(x_2-a_2)+ \frac12\bigl(D_{11}f(t)(x_1-a_1)^2+2D_{12}f(t)(x_1-a_1)(x_2-a_2)+D_{22}f(t)(x_2-a_2)^2\bigr)
$$waarbij $t$ een punt is op lijnstuk $[a,x]$.
Omdat de Hessiaan in $t$ positief is en omdat $D_{11}f(t) $>$ 0$ volgt nu dat de hele uitdrukking $\frac12(\ldots)$ hierboven strikt positief is.

kphart
donderdag 18 januari 2018

©2001-2024 WisFaq