Berekening aan een paraboolbaan, squashbal

'Het is de bedoeling om vanaf een gegeven punt een squashbal met een beginsnelheid v zo te raken dat hij een veticale muur boven een op die muur horizontale streep raakt. Het blijkt nu dat als de baan van de bal geprojecteerd wordt in een verticaal vlak (door de squasher) dat loodrecht op de muur staat, de bal precis op die lijn terecht komt als de geprojecteerde beginhoek een hoek van alpha of béta (alpha $>$ bèta) met de vloer.
Toon nu aan dat de ball ieder punt op de muur kan raken, gelegen in een cirkel met straal
[v²·sin(alpha - bèta)] / [g·sin(alpha + bèta)].'

De laatste zin 'Toon aan ...' is het probleem. In het verticale vlak waarin de paraboolbaan van de bal verloopt
kun je de afstand van de squasher tot de muur (zeeg d) berekenen evenals de hoogte h van de streep op de muur.
Je vindt d = [2·v²·cos(alpha)·cos(bèta)] / [g·sin(alpha + bèta)] en d = h·tan(alpha + bèta), maar een uitdrukking vinden voor de spreiding van de bal op de muur, dat ben ik nog nooit tegengekomen. Dus hoe doe je dat?

M. Wie
Iets anders - zondag 31 december 2017

Antwoord

Ik zou het andersom aanpakken: $v$, $d$ en $h$ zijn gegeven en je kunt de hoogte waarop de bal de muur raakt in $v$, $d$, $g$ en die hoek uitdrukken.
Als je alles netjes uitschrijft vind je de volgende formule voor die hoogte:
$$
-\frac12\frac{gd^2}{v^2}\left(\tan^2\theta -\frac{2v^2}{gd}\tan\theta +1\right)
$$
Dat kun je omschrijven tot
$$
\frac12\frac{gd^2}{v^2}\left(\frac{v^4}{g^2d^2}-1-\left(\tan\theta-\frac{v^2}{gd}\right)^2\right)
$$
Hieruit kun je aflezen dat de maximaal haalbare hoogte gelijk is aan
$$
\frac12\frac{gd^2}{v^2}\left(\frac{v^4}{g^2d^2}-1\right)
$$
waarbij $\theta$ dan voldoet aan $\tan\theta=\frac{v^2}{gd}$. Noem die maximale hoogte even $H$, dus
$$
H=\frac12\frac{v^2}{g}-\frac12\frac{gd^2}{v^2}
$$
Als je niet recht op de muur schiet maar onder een hoek $\eta$ met de normaal dan krijg je hetzelfde antwoord als hierboven met $d$ vervangen door $d/\cos\eta$ en dat is dan (even uitschrijven)
$$
H-\frac12\frac{g}{v^2}\cdot d^2\tan^2\eta
$$
Nu raak je de muur $d\tan\eta$ eenheden naar links (of rechts), dus als je schrijft $x=d\tan\eta$ dan beschrijven al die maximale hoogten een parabool met vergelijking
$$
y=H-\frac12\frac{g}{v^2}x^2
$$
En niet $d$ en $h$ in $\alpha$ en $\beta$ uitdrukken, maar andersom dus: de hoeken $\alpha$ en $\beta$ zijn oplossingen van
$$
-\frac12\frac{gd^2}{v^2}\left(\tan^2\theta -\frac{2v^2}{gd}\tan\theta +1\right)=h
$$
Dat is een kwadratische vergelijking in $\tan\theta$ en de oplossingen zijn
$$
\tan\theta=\frac{v^2}{gd}\pm\frac1{gd}\sqrt{v^4-g^2d^2-2v^2gh}
$$
Hieruit vind je
$$
\tan\alpha+\tan\beta=\frac{2v^2}{gd}
$$
en
$$
\tan\alpha-\tan\beta=\frac2{gd}\sqrt{v^4-g^2d^2-2v^2gh}
$$
Nu kijken we naar de opgegeven straal; er geldt namelijk
$$
\frac{v^2\sin(\alpha-\beta)}{g\sin(\alpha+\beta)}=\frac{v^2}{g}\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}
$$
Je kunt die straal hiermee dus in $v$, $g$, $d$, en $h$ uitdrukken.
Probeer zelf maar eens aan te tonen dat er een schijf met die straal in het gebied boven de lijk $y=h$ en onder de parabool $y=H-\frac12\frac{g}{v^2}x^2$ past.

kphart
zondag 31 december 2017

Re: Baan van een squashbal

©2001-2024 WisFaq