Vaststellen afstand tussen raakpunten

De opgave is als volgt: neem voor kromme K x=4sin(t) en y=4sin(t)-2sin(2t). De lijn x=p met p$>$0 snijdt K in de punten A en B, zo dat AB=4. Bereken exact de waarde van p.

Dit lukt mij dus niet. Vermoedelijk moet ik een vergelijking maken waarbij ik y(t)-y(t) gelijkstel aan 4, maar dit werkt uiteraard niet omdat we met twee verschillende waarden van t zitten. Ook het plotten van deze parameterkromme heeft me niet verder geholpen.
Ik heb geprobeerd om x en y samen te voegen. Toen kwam ik uit op y=x+x·cos(t)=x(1+cos(t)). Ook dit hielp niet.
Kortom, ik zou graag willen weten met welke stappen ik deze opgave kan oplossen.
Alvast bedankt!

Mario
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 3 december 2017

Antwoord

Je zoekt kennelijk twee waarden van $t$ die dezelfde $x$ opleveren en waarvan de bijbehorende $y$-en $4$ verschillen.
We beperken onze $t$-en tot het interval $[-\pi,\pi]$ omdat we met die waarden alle punten op $K$ krijgen.
Als $s$ en $t$ dezelfde $x$ opleveren dan geldt dus $\sin s=\sin t$ en in ons interval kan dat op twee manieren: als $s,t\ge0$ en $s=\pi-t$, of als $s,t\le0$ en $s=t+\pi$.
In het eerste geval zijn de $y$-en gelijk aan $y_1=4\sin t-2\sin2t$ en $y_2=4\sin t-2\sin(2\pi-2t)$. Probeer nu $t$ te vinden zó dat $y_2-y_1=4$ of $y_1-y_2=4$.
Het tweede geval gaan net zo.
De $p$ die je zoekt is telkens gelijk aan $4\sin t$.

kphart
zondag 3 december 2017

©2001-2024 WisFaq