Re: Integreren

Dit is een reactie op vraag 85184

U heeft me al geweldig gehoplen met:

Bij vaste t, moet y beperkt zijn tot het interval tussen t*a[0] en M. Als ik de volgende waarden invul:

a[0]:=1;a[1]:=1;c[0]:=0.5;c[1]:=0.5;M:=3.0;t:=0.2;

en doe de volgende integraal:

Int(f(t)*f[1,0](y),y=t*a[0]..M);

Dan krijg ik als uitkomst: 0.6222222221.

Het lijkt er dus op dat

Int(f(t)*f[1,0](y),y=t*a[0]..M);

een zinnige integraal is. Is dat zo?

Ad van
Docent - donderdag 9 november 2017

Antwoord

Als je even alle constanten met $\Gamma$ en zo weglaat hou je dit over:
$$
\int_{ta_{{0}}}^{M}\!{\left( M-y \right)
^{{\frac {Mc_{{1}}-a_{{1}}}{a_{{1}}}}} \left( y-ta_{{0}} \right) ^{{
\frac {c_{{0}}-a_0}{a_{{0}}}}}}\,\mathrm{d}y
$$
Ik neem aan dat de $a$s en $c$s positief zijn; in dat geval bestaat de integraal altijd.
Met wat geduld is de integraal om te bouwen tot iets eenvoudigers: noem $\frac{Mc_1}{a_1}$ even $p$ en $\frac{c_0}{a_0}$ even $q$; dan staat er dus
$$
\int_{ta_0}^M (M-y)^{p-1} (y-ta_0)^{q-1}\,\mathrm{d}y
$$
Via $u=y-ta_0$ maken we daar
$$
\int_0^{M-ta_0} (M-ta_0-u)^{p-1} u^{q-1}\,\mathrm{d}u
$$
van, via $u=(M-ta_0)x$ krijgen we dan
$$
(M-ta_0)^{p+q-1}\int_0^1(1-x)^{p-1}x^{q-1}\,\mathrm{d}x
$$
en dat reduceert alles dus tot een $\beta$-functie.

kphart
donderdag 9 november 2017

Re: Re: Integreren

©2001-2024 WisFaq