Toepassing van de telstelling op akkoorden

"Stel we beschouwen een notensysteem met n noten; i.e. de zgn. n-toonstemming. Hier beschouwen we twee noten als hetzelfde wanneer ze een octaaf verschillen. Voor deze opgave zijn we vooral ge¨interesseerd in het geval n = 6 (gebruikelijk in composities van Debussy) en n = 12 (gebruikelijk in de Westerse muziek). We schrijven de collectie noten als X = _n.

Opgave c bij deze vraag was: Gebruik de telstelling om het aantal equivalentieklassen van akkoorden bestaande uit k = 1, . . . , 5 noten in Debussy’s muziek te tellen. (Voor dit probleem is de telstelling duidelijk “overkill”.)

Ik kwam bij deze vraag uit op bijna 900. Ik denk dus dat er ergens een fout zit, ik weet alleen niet waar.

Als we een eindige groep G, en eindige verzameling X hebben, dan verteld de telstelling ons dat het aantal banen gelijk is aan ¹/_|G| å_{gÎ G} |X^g|.

In een vorige vraag heb ik al bewezen dat de afbeelding T : X ? X, T(x) = x + 1 (transponeren van een noot) en I : X ? X, I(x) = -x (de omkering van een noot) de diëdergroep D_n voortbrengen. Bij vraag C had ik daarom G=D_k genomen, dus |G|=k*2 en g kan : T, T²,T³,T⁴,e, I,TI,T²I,T³I,T⁴I zijn (afhankelijk van wat k is).

Ik zal er even een paar uit schrijven om te laten zien hoe ik dan |X^g| berekende.

neem g=e, dan hebben we voor k=1 ( dus het akkoord bestaat uit 1 noot) |X^e|=6, voor k=2 |X^e|=6²,..., voor k=5 |X^e|=6⁵

neem g=TI, TI(x)=T(-x)=-x+1. Dan voor k=1 |X^TI|=6, voor k=2 |X^TI|=6^2,...voor k=5 hebben we dat 1®1, 2®5®2 3®4®3, dus we kunnen 3 keuzes maken en dus |X^TI|=6^3.

Dan vul je op het einde alles in in de telstelling,

Ik twijfel een beetje over mijn keuze voor G. Ik wil liever niet het hele antwoord, maar een tip of hint over wat ik fout doe, zodat ik zelf kan maken!

Alvast bedankt!

Daniël
Student universiteit - dinsdag 24 oktober 2017

Antwoord

Mijn vermoeden is dat de groep in kwestie de permutatiegroep $S_k$ moet zijn: een akkoord is een aantal noten dat tegelijk aangeslagen/gespeeld wordt.
Bij een akkoord van vijf noten uit een octaaf van zes heb je in eerste instantie $6^5$ rijtjes noten; echter twee rijtjes die permutaties van elkaar zijn geven hetzelfde akkoord. Je laat nu $S_5$ op de verzameling van alle rijtjes noten van lengte vijf werken: $\sigma(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)=(n_{\sigma(1)},n_{\sigma(2)},n_{\sigma(3)},n_{\sigma(4)},n_{\sigma(5)})$.
Er zijn net zo veel banen als akkoorden. Per permutatie is $|X^\sigma|$ vrij eenvoudig te bepalen.
Bij twaalf noten per octaaf en akkoorden gaat het om $12^k$ rijtjes en de werking van $S_k$.

kphart
vrijdag 27 oktober 2017

©2001-2024 WisFaq