Bijzondere constructie rechthoekige driehoek met gegeven oppervlakte

Het gaat over het volgend probleem: gegeven is een vast punt A, een rechte r en een cirkel (K), waarbij r de cirkel niet snijdt. Teken dan een rechthoekige driehoek ABC, waarbij B rust op de rechte r en C rust op de cirkel (K). A komt overeen met de rechte hoek. Bovendien moet de oppervlakte van die rechthoekige driehoek ABC gelijk zijn aan 1/2 m².

Voorlopige analyse van het probleem: om een oppervlakte te bekomen van 1/2 m² moeten de rechthoekszijden een lengte hebben van k en 1/k. Gemakkelijkheid halve kies ik voor k = 1.
Om die reden heb ik in het ggb-bestand (GeoGebra) dat in de bijlage is opgenomen, een gelijkzijdige rechthoekige driehoek AB'C' getekend, waarbij het punt C' kan versleept worden en de rest van de driehoek AB'C' zich aanpast.
Na het slepen van C' is het mogelijk driehoek AB'C' te transformeren in driehoek ABC, waarbij B resp. C rust op r resp. (K). Zie ook de figuur in het ggb-bestand.
Dit betekent dus dat de er zeker een oplossing mogelijk is.
De lijnstukken AB en AC met AB=AC laat men dan overeen komen met een lengte van 1 meter. De oppervlakte is dan zeker al 1/2 m².
Aangezien de gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC bestaat, moet ook de cirkel met middelpunt A en straal AB=AC bestaan; indien deze cirkel kan worden gevonden, levert het snijpunt met r resp. met (K) de gevraagde driehoek ABC op met oppervlakte 1/2 m².
Mijn VRAAG is dan ook om een tip te krijgen waarmee ik die cirkel (A, AB=AC) kan vastleggen. Ik hou er natuurlijk mee rekening dat ik hier een verkeerde aanpak doe!
Biij voorbaat bedankt voor de hulp!

Yves D
Iets anders - woensdag 4 oktober 2017

Antwoord

Hallo Yves,

Ik moet het hier even zonder je ggb bestand doen, maar ik kan wel het volgende met je delen, wat zal helpen je oplossing te vinden.

Laten we eens kijken naar de rechte $r$ en het punt $A$. De loodrechte projectie van $A$ op $r$ noemen we $Q$. We kunnen het punt $Q'$ bepalen op de lijn $AQ$ zodat $AQ\cdot AQ'=1$. Nemen we een ander punt $P$ op $r$, dan kunnen we evenzo $P'$ op $AP$ vinden zodat $AP\cdot AP'=1$.

We zien dus dat $AP\cdot AP'=AQ\cdot AQ'$, ofwel $\frac{AP}{AQ'}=\frac{AQ}{AP'}$. En dat betekent dat $\Delta APQ \sim \Delta AQ'P'$.

In het bijzonder betekent dat dat $\angle AP'Q'$ recht is, dus dat $P'$ op de cirkel ligt met diameter $AQ'$.

Kortom: als $P$ rechte $r$ doorloopt, dan doorloopt $P'$ een cirkel.

Roteren we $P'$ over $90^\circ$ naar $P''$ dan doorloopt ook $P''$ een cirkel.

Zie je welke kant je op kunt?

Met vriendelijke groet,

vrijdag 6 oktober 2017

Re: Bijzondere constructie rechthoekige driehoek met gegeven oppervlakte

©2001-2024 WisFaq