Formule om getallenverzamelingen van elkaar af te trekken

Geachte heren en dames, bestaat er een algemene formule om getallenverzamelingen die deel van elkaar uitmaken van elkaar af te trekken, zodanig, dat er een restverzameling overblijft, die in een functie uit te drukken is?

Ik geef een simpel voorbeeld. Stel, je hebt een functie A die de getallen 1,2,3,4,5 oplevert en je hebt een deelverzameling B die de getallen 1,2,3 oplevert. Wat wordt dan de restfunctie C die de getallen 4 en 5 oplevert? Ik moet die formule weten om voor een zeer belangrijke wiskundige doorbraak te kunnen zorgen.

Alvast bedankt voor het meedenken.

de zoe
Iets anders - donderdag 27 juli 2017

Antwoord

Om te beginnen: het voorbeeld dat u noemt is niet echt instructief. U laat geheel in het midden wat de functie $A$ is en hoe die de getallen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oplevert. Daarnaast levert een deelverzameling, letterlijk genomen, geen punten op maar bevat deze de genoemde punten, en zo te zien is het de bedoeling dat $B$ uit precies de getallen $1$, $2$, $3$ bestaat. Dat is toch iets anders dan `opleveren'.

Er zijn manieren om dergelijke verschijnselen te beschrijven. Zoals u wellicht weet bestaat er een bijectieve afbeelding $f$ tussen de verzameling, $\mathbb{N}$, der natuurlijke getallen en de familie der eindige deelverzamelingen van $\mathbb{N}$. Deze wordt recursief beschreven, als volgt: $f(0)=\emptyset$ en voor $n $>$ 0$ wordt $f(n)$ uit de reeds bepaalde waarden van $f$ bepaald door eerst $i=\max\{i:2^i\le n\}$ te nemen, dan $m=n-2^i$ te berekenen en ten slotte $f(n)=f(m)\cup\{i\}$ te definiëren.

Zo kunt u narekenen dat $A=f(62)$ en $B=f(14)$; daarnaast kunnen we de verschilverzameling $C=\{4,5\}$ verkrijgen door het verschil van de getallen te nemen: $62-14=48$, want, inderdaad $C=f(48)$.

Voor verder rekenwerk is het wel nuttig de inverse functie, $g$, van $f$ te bepalen; men rekent snel na dat deze gegeven wordt door $g(X)=\sum\{2^i:i\in X\}$.

kphart
donderdag 27 juli 2017

©2001-2024 WisFaq