Taylorpolynoom opstellen bij dv

Bepaal een vierde-orde Taylorpolynoombenadering van de oplossing van het beginwaardeprobleem:

y'' + sin (y) = 0 met y(0) = ¹/₂pi en y'(0) = 2.

Ik schrijf y'' als sommatie van n=2 tot oneindig van n(n-1)·An · x^n-2 en sin(y) als x-x³/3!+x⁵/5!-... maar dan loop ik vast bij het vinden van de coefficienten van de taylorreeks

y(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ ..

Koen
Student universiteit - woensdag 21 juni 2017

Antwoord

Het is veel werk maar je bent op de goede weg. Je hebt
$$
y=\frac\pi2+2x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots
$$
en $y''$ is als je hebt opgeschreven: $2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots$.
Nu moet je $y$ in die reeks voor de sinus invullen:
$$
2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2+\frac\pi2x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots)^{2n+1}=0
$$
Nu moet je zorgvuldig uitvermenigvuldigen en gelijke machten bij elkaar nemen.
Als je goed kijk zie dat als je $x=0$ invult er $2a_2+\sin\frac\pi2=0$ komt, dus $a_2$ heb je al.
Daarna hoef je alleen nog met
$$
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\frac\pi2+2x+a_2x^2)^{2n+1}
$$
te werken om $a_3$ en $a_4$ te bepalen.
Je kunt ook met behulp van gonioformules $\sin(\frac\pi2+ 2x+a_2x^2)$ eerst in $\sin\frac\pi2$, $\cos\frac\pi2$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\sin a_2x^2$ en $\cos a_2x^2$ uitdrukken en daarvan weer kleine stukjes Taylor nemen.

kphart
donderdag 22 juni 2017

Re: Taylorpolynoom opstellen bij dv

©2001-2024 WisFaq