Poollijn

OPGAVE
Gegeven een cirkel C(O,r) en een vast punt A. Verder is MN een variabele middellijn van (C). De snijpunten van AM resp. AN met (C) zijn M' resp. N'. Toon dan aan dat de cirkel AMN resp. AM'N' elk door een tweede vast punt gaan.

Vooreerst tekende ik een cirkel AMN (rood) resp. AM'N' (groen, en stelde vast dat die OA snijdt in P resp. Q. Beide punten liggen symmetrisch t.o.v. O. Ik tekende daarom ook A' symmetriepunt van A t.o.v. O. Ik stelde toen vast dat de poollijn van Q resp. P door A resp. door A' gaat (·).

Dit betekent dan dat OQ.OA = r² resp. OP.OA' = r². Daar A en A' vaste punten zijn en r een gegeven straal van (C),
betekent dit dat de punten Q en P ook vaste punten moeten zijn, of m.a.w. de cirkels AMN resp. AM'N' gaan door een
tweede vast punt P resp. Q.



VRAAG
Heeft te maken met de regel waar een asterisk bij staat. Hoe kan ik aantonen dat de poollijn van Q door A gaat (idem natuurlijk voor de poollijn van P die door A' gaat).

Maryse
3de graad ASO - vrijdag 9 juni 2017

Antwoord

Hallo Maryse,

Ben je bekend met de "macht van een punt ten opzichte van een cirkel"?

Zie bijvoorbeeld de link onderaan de pagina.

Daaruit volgt dat de macht van $O$ ten opzichte van cirkel $(AMN)$ gelijk is aan:
$|OP|\cdot|OA|=|OM|\cdot|ON|=r^2$.

Hierdoor zie je dat $P$ een vast punt is, onafhankelijk van de keuze van diameter $MN$.

Nu punt $Q$ nog. Merk op dat $\Delta AMN \sim \Delta AN'M'$ vanwege de gezamenlijke hoek $A$ en de macht van $A$ ten opzichte van $(C)$. Daaruit volgt immers dat

$|AM'|\cdot |AM| = |AN|\cdot |AN'|$

en dus

$|AM'|:|AN'|=|AN|:|AM|$.

In het bijzonder geldt dus $\angle AN'M' = \angle AMN$.

Nu geldt:

$\angle OQM' = 180^\circ - \angle AQM'$

en vervolgens

$\angle AQM' = \angle AN'M'$ (constante hoek in $(C'_k)$) $=\angle AMN$.

Hieruit volgt dat $MOQM'$ een koordenvierhoek is, ofwel de punten liggen op één cirkel. De macht van $A$ ten opzichte van deze cirkel is:

$|AQ|\cdot|AP| = |AM'|\cdot|AM|$

en dat is gelijk aan de macht van $A$ ten opzichte van $(C)$, waarmee ook punt $Q$ vastligt.

Ik hoop dat je hiermee uit de voeten kunt!

Met vriendelijke groet,

Zie Macht van een punt t.o.v. een cirkel

dinsdag 13 juni 2017

©2001-2024 WisFaq