Afstand kromme tot een punt

Gegeven de kromme met parametervergelijking
x = cost + cos(7t)/5
y = sin t + sin(7t)/5
en $-\pi\lt t \lt\pi$,
Bepaal exact de kortste afstand ervan tot het punt (18/25, 18/25√3)

Kong
Student universiteit België - vrijdag 26 mei 2017

Antwoord

De (kortste) afstand tussen 2 punten in een 2D vlak kunnen we vinden door een rechthoekige driehoek te maken waarvan de 2 rechthoekszijden bestaan uit het verschil tussen de bekende coördinaten: stel we hebben de volgende 2 punten $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ dan hebben we dus een rechthoekszijde van lengte $|x_2-x_1|$ parallel aan de $x$-as en een rechthoekszijde van lengte $|y_2-y_1|$ parallel aan de y-as.

Met de stelling van Pythagoras kunnen we nu de afstand tussen 2 punten vinden. De uitdaging bij jou is dat 1 van de punten nu niet vast staat maar een kromme is. Nu staan de lengtes van de zijden van de driehoek dus niet vast, maar zijn deze afhankelijk van de kromme, maar feitelijk doe je hetzelfde.

Als je nu de stelling van Pythagoras toepast krijg je dat de afstand een functie is van $t$ en aangezien je de kortste afstand wilt hebben dien je deze te minimaliseren. Is het zo duidelijk?

Aanvullende hint: als de afstand van de kromme tot het punt minimaal is in $t$, dan is het kwadraat van de afstand daar ook minimaal. Dus: om het punt te vinden kan je ook de kwadratische afstand minimaliseren, waardoor je die 'vervelende' vierkantswortel alvast kwijtspeelt.

MvE
vrijdag 26 mei 2017

©2001-2024 WisFaq