Isogonaal verwante halfrechte tov de hoek A van een driehoek

Opgave: De hoekpunten van driehoek ABC liggen op een cirkel K(O,r). P is de pool van BC t.o.v. (K). Toon aan dat de isogonaal verwante van de zwaartelijn AM door de pool P van BC gaat.

Vooraf heb ik tekening gemaakt m.b.v. de tool GeoGebra;


Via die tekening is het meteen duidelijk dat dit wel zo zou zijn.

De zwaartelijn AM halveert BC in M en verder is ook geweten dat PM loodrecht staat op BC in het punt M.
Ik tekende dan de binnen bissectrice van hoek A alsook de isogonaal verwante halfrechte AM' (zie figuur).

Ik veronderstelde dan AM' de rechte PM snijdt in P' (zie naburig punt van P op de figuur) en probeerde dan aan te tonen dat P' samen viel met P. Het laatste dat ik heb geprobeerd was zoeken naar een transversaal OP die de zijden van driehoek AM'C snijdt in P', M en N en dan volgt wegens de stelling van Menelaos:(AM'P')(M'CM)(CAN)=1. Vervolgens zocht ik naar een analoge expressie met daarin P i.p.v. P', hetgeen tot gevolg zou hebben dat P'=P...
Kortom het lukte me niet.

Mijn Vraag: Hoe slaag ik er in aan te tonen dat P' en P samenvallen?

Yves D
Iets anders - donderdag 27 april 2017

Antwoord

Hallo Yves,

Laat me het proberen. Het gereedschap dat we nodig hebben is de harmonische ligging. Daarvoor hebben we het verlengde van de lijn door $E$, $O$, $M$ en $N$ nodig, die de cirkel een tweede keer snijdt in zeg punt $G$.

Omdat $P$ de pool is van $BC$ geldt dat de punten paren $(M,P)$ en $(E,G)$ harmonisch ten opzichte van elkaar liggen, dus $(MPEG) = -1$.

Nu wil het geval dat $AE=d_a$ en $AG$ de bissectrices zijn van $\angle P'AM$. Bissectrices in een driehoek snijden de overliggende zijden in de verhouding van hun aanliggende zijden. Bekijken we $\Delta AMP'$ dan levert dit $|(MP'E)|=|(MP'G)|=\frac{AM}{AP'}$. Hieruit volgt dat ook $(MP'EG)=-1$.

Bijgevolg hebben we $P'=P$!

Met vriendelijke groet,

donderdag 27 april 2017

©2001-2024 WisFaq