Globaal, lokaal extrema

Hallo,

Bij deze vraag is het wellicht belangrijk om te weten dat er geen gebruik mag worden gemaakt van een grafische rekenmachine.

Opgave:
Gegeven de formule: F(x)=x⁴-6x²+5

Bepaal de x-waarde van alle lokale en globale maxima en minima en geef telkens aan om wat voor soort extremum het gaat.

Ik ben zo ver gekomen:
- Afgeleide gelijk stellen aan 0, geeft
- x = 0, x = √3, x = -√3

Ik heb gekeken in het antwoordenboekje en deze waarden kloppen.

Mijn vraag is nu hoe kan je bepalen of het gaat om een globaal of lokaal extremum? (zonder grafische rekenmachine) (misschien schets maken?)

Alvast hartelijk dank voor het antwoord.

Met vriendelijke groet,
Alex

Alex v
Student universiteit - woensdag 26 april 2017

Antwoord

Hallo Alex,

Je hebt al gevonden dat je mogelijk minima en maxima vindt bij x=-√3, x=0 en x=√3. De bijbehorende functiewaarden vind je door deze waarden in de oorspronkelijke functie in te vullen. Ik vind:

x=-√3 geeft y=-4
x=0 geeft y=5
x=√3 geeft y=-4

Deze punten kan je alvast in een schets weergeven. Vervolgens maken we gebruik van het inzicht dat de grafiek van een 4e-graadsvergelijking maximaal 3 toppen heeft (bedenk: de grafiek van een 2e-graadsfunctie (=parabool) heeft 1 top, een 3e-graadsfunctie geeft maximaal 2 toppen, een 4-graadsfunctie maximaal 3 toppen enz.). Er past dus maar één vorm door deze drie punten: links komt de grafiek uit het oneindige, daalt tot het punt (-√3,-4), stijgt naar (0,5), daalt weer naar (√3,-4) en stijgt weer richting oneindig.
Conclusie: -4 is een globaal minimum (want geen enkele functiewaarde is minder dan -4), 5 is een lokaal maximum.

Wanneer de afgeleide nul is en je wilt zeker weten of je daar te maken hebt met een minimum, maximum of buigpunt, dan kan je ook de tweede afgeleide bepalen:

y'' = 12x²-12

Bij x=-√3 en x=√3 vind je y''=24. Deze waarde is positief, dat betekent dat de afgeleide zelf steeds groter wordt. De grafiek is dan 'hol' (concaaf), kennelijk heb je hier te maken met een minimum.
Bij x=0 vond je y''=-12. Een negatieve waarde, de grafiek loopt 'bol' (convex), hier heb je dus te maken met een maximum.
Om te bepalen of dit lokale of globale extremen zijn, zal je toch nog even moeten bedenken hoe de grafiek van een 4e-graadsfuctie loopt.

woensdag 26 april 2017

©2001-2024 WisFaq