Punt bepalen van waaruit men 2 cirkels ziet onder een zelfde hoek

Opgave: Gegeven is een rechte p en 2 niet snijdende cirkels (p snijdt ook niet de cirkels; zie ok bijgaande figuur). Zoek dan een punt P gelegen op p van waaruit men beide cirkels onder een zelfde hoek ziet. Maak hierbij gebruik van een geschikte rotatie.

Mijn bevindingen: Ik bepaalde vooraf het snijpunt S van p en de rechte O1O2 (centraal van beide cirkels). Ik roteerde de rechte p over een hoek a, tot p samen valt met O1O2. De buitenraaklijnen aan beide cirkels snijden elkaar in P' gelegen op de centraal. Ik roteerde P' naar de rechte p en vond op die manier een punt P, van waaruit men beide cirkels onder een zelfde hoek ziet. De hoeken heb ik gemeten via GeoGebra en stelde vast dat er een klein verschil op zit (ongeveer een kleine halve graad). Dit kleine verschil doet me twijfelen aan de correctheid van deze oplossing. Interne afrondingsfouten in GeoGebra lijken me toch heel onwaarschijnlijk.

VRAAG: Wat heb ik hier fout gedaan??? M.a.w. Is er een beter rotatiecentrum?
Hartelijk dank voor uw eventuele tussenkomst!

Yves
Iets anders - donderdag 9 februari 2017

Antwoord

Hallo Yves,

Je oplossing klopt inderdaad niet, want geogebra zou echt hetzelfde moeten geven. Ik kan niet helemaal precies volgen wat je hebt gedaan ("ik roteerde P' naar de rechte p" om welk punt?).

Het lastige van hints als deze is dat ik niet direct inzie welke rotaties je kunt gebruiken. Maar met wat denkwerk heb ik wel een andere oplossing, met meestal twee punten als oplossing:

Stel je even voor dat vanuit een punt $P$ de twee cirkels gezien worden onder dezelfde hoek. De raakpunten aan cirkel $(O_1,r_1)$ noemen we even $A_1$ en $B_1$ en aan cirkel $(O_2,r_2)$ noemen we $A_2$ en $B_2$. Dus $\angle A_1PB_1 = \angle A_2PB_2$. Je kunt nu inzien dat $\Delta A_1PO_1 \sim \Delta A_2PO_2$ (twee gelijke hoeken: rechte hoek aan het raakpunt en de helft van de "kijkhoek" bij $P$).

Maar dat betekent dat $O_1P:O_2P = O_1A_1:O_2A_2 = r_1:r_2$. En deze verhouding geldt kennelijk voor alle mogelijke punten $P$ vanwaar je de twee cirkels ziet onder gelijke hoek.

De meetkundige plaats van dergelijke punten is een Cirkel van Apollonius.

De cirkel van Apollonius snijdt uiteraard de centraal van de twee cirkels precies in de punten waar de gezamenlijke binnen- resp buitenraaklijnen van de twee cirkels samenkomen. Deze twee snijpunten zijn de uiteinden van een diameter van de cirel van Apollonius. Daarmee is hij eenvoudig te construeren, evenals zijn snijpunten met de gegeven lijn. Je ziet nu dat het er meestal twee zullen zijn.

Maar een geschikte rotatie heb ik eigenlijk niet gebruikt....

donderdag 9 februari 2017

©2001-2024 WisFaq