Verband tussen xⁿ en n!

Hoe komt het dat men bij de functie f(x)=xⁿ een constante uitkomt namelijk n! als men de verschillen van opeenvolgende gehele getallen neemt en er van de opeenvolgende verschillen weer het verschil neemt en dat n keer doet?

b.v. n=1: 1¹, 2¹, 3¹ geeft als verschillen 2-1=1 en 3-2=1 en 1=1!

b.v. n=2: 1², 2², 3², 4² en de verschillen zijn 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7 en de verschillen daarvan zijn 5-3=2, 7-5=2 en 2=2!

b.v. n=3: 1³, 2³, 3³, 4³, 5³ en de verschillen zijn 8-1=7, 27-8=19, 64-27=37, 125-64=61 en de verschillen daarvan zijn 19-7=12, 37-19=18, 61-37=24 en de verschillen daarvan zijn 18-12=6, 24-18=6 en 6=3!

b.v. n=4: 1⁴, 2⁴, 3⁴, 4⁴, 5⁴, 6⁴ en de verschillen zijn 16-1=15, 81-16=65, 256-81=175, 625-256=369, 1296-625=671 en de verschillen daarvan zijn 65-15=50, 175-65=110, 369-175=194, 671-369=302 en de verschillen daarvan zijn 110-50=60, 194-110=84, 302-194=108 en daarvan 84-60=24, 108-84=24 en 24=4! enz... Dit is toch raar!

OPA
3de graad ASO - maandag 19 december 2016

Antwoord

De een vind het raar, de ander vind het prachtig. Hetzelfde verschijnsel zie je ook als je $x^n$ naar $x$ differentieert: de $n$-de afgeleide is constant en gelijk aan $n!$.

Wat gebeurt is eigenlijk hetzelfde als bij het differentiëren, neem een willekeurig verschil
$$
(k+1)^n-k^n = \sum_{i=1}^n\binom{n}{i}k^{n-i} = n\cdot k^{n-1}+\sum_{i=2}^n\binom{n}{i}k^{n-i}
$$Hier zie je: het eerste verschil wordt uitgedrukt in lagere machten, waarbij de $n-1$-de macht met $n$ vermenigvuldigt wordt.
Als je nu door gaat zie je bij elke nieuwe stap een extra factor van $n!$ verschijnen en de macht van $k$ eentje lager worden.
Je kunt nu een mooi bewijs met volledige inductie maken van de bewering: de $n$-de verschilrij van $k^n$ is constant met waarde $n!$.

kphart
dinsdag 20 december 2016

©2001-2024 WisFaq