Genererende functie van rij opstellen

Hallo, ik kom niet verder met onderstaande opgave:

Gegeven:
- Genererende functies A(x), B(x) en C(x) voor de rijen (ak), (bk) en (ck)
- a₀=b₀=c₀=0
- a₁=c₁= 0 en b₁=1
- a₂ = b₂=0 en c₂=1

Gevraagd:
- Vertaal b(n+1) = c₁c(n-1) + c₂c(n-2)+...+ c(n-1)c₁ met n$\ge$2 in een genererende functie.

Het antwoord zou B(x) = x ((C(x))²+1) moeten zijn?

Lene
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - donderdag 3 november 2016

Antwoord

Als je $(C(x)-c_0)^2$ uitwerk, dus dit product
$$
(c_1x+c_2x^2+\cdots c_nx^n+\cdots)(c_1x+c_2x^2+\cdots c_nx^n+\cdots)
$$Dan krijgt je bij $c_1c_{n-1}+c_2c_{n-2}+\cdots+c_{n-1}c_1$ als de coefficient van $x^n$ (werk maar netjes uit).
Maar daarboven is $c_0=0$ afgesproken dus dat product is gelijk aan $C(x)^2$, en de eerste term is $c_1c_1x^2$.
Maar men wil dat die coefficient gelijk is aan $b_{n+1}$ (als $n\ge2$), dus $b_3=c_1c_1$, $b_4=c_1c_3+c_2c_2+c_3c_1$ bijvoorbeeld, in $B(x)$ moet die bij $x^{n+1}$ staan daarom vermenigvuldig je $C(x)^2$ met $x$ dan staat er
$$
(c_1c_{n-1}+c_2c_{n-2}+\cdots+c_{n-1}c_1)x^{n+1}
$$op de $n+1$ste plaats, verder staat er nog dat $b_0=b_2=0$ en $b_1=1$ dus
$$
B(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+c_1c_1x^3+(c_1c_3+c_2c_2+c_3c_1)x^4+\cdots=x+xC(x)^2
$$

kphart
donderdag 3 november 2016

©2001-2024 WisFaq