Parametervergelijking oplossen

Bij een bepaalde vraag:
fp(x)= 1/3x³ + px² - 3x -p moet aangetoond worden dat de grafiek fp voor elke p twee extreme waarden heeft.

Bij het oplossen van de functie (afgeleide gelijk stellen aan 0 en dan D$>$0 stellen kom ik op een antwoord: p²$>$ -3. Nu zegt mijn leraar dat dus voor elk getal voor p de functie twee extremen heeft. Dat klopt als ik direct naar de vergelijking kijk, maar als ik het moet afleiden dan kom ik dus op een negatieve wortel en dat kan niet ? (maar antwoord moet zijn voor elke p zijn er twee extremen).

Juut
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 2 september 2016

Antwoord

De discriminant van de afgeleide is 4p² + 12 en je wilt laten zien dat dit altijd een positief getal is.
Je hoeft dus niet iets op te lossen, alleen maar aantonen dat het klopt.
Welnu, van ieder getal p is het kwadraat positief of nul.
Dat betekent dat 4p² óók altijd positief of nul is. Het bijtellen van 12 maakt dan dat de discriminant altijd minstens 12 is, dus zeker positief.

Als je toch de oploskant op wilt, dan krijg je het volgende. De vraag is: voor welke p is 4p² + 12 $>$ 0?
Dat is dezelfde vraag als: voor welke p is p² $>$ -3 ?
Antwoord: voor alle p.

MBL
vrijdag 2 september 2016

©2001-2024 WisFaq