Verhoudingen van oppervlakten

Voor elke positieve waarde van p is een functie f(x) gegeven door:

f(x) = -x³ + 3px²

De grafiek van f(x) heeft 2 punten met de x-as gemeenschappelijk: O (0,0) en A. De top van f(x), die rechts van de y-as ligt, noemen we T. De horizontale lijn door punt T snijdt de y-as in punt C en snijdt de verticale lijn door A in punt B.

De grafiek van f(x) heeft tussen O en T een buigpunt. De raaklijn door dit buigpunt aan de grafiek deelt de oppervlakte van OABC in 2 delen.

Ga met een exacte berekening na of een waarde van p is zodat de oppervlakte het rechterkant van de raaklijn (maar binnen de rechthoek) net zo groot is als de oppervlakte die wordt ingesloten door de grafiek (fx) en de x-as.

Carmen
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 4 juli 2016

Antwoord

Hallo Carmen,

Hieronder zie je een schets van de grafiek van f(x):



Het buigpunt is punt D, de lijn EF is de raaklijn door dit buigpunt. De vraag is nu:
Is er een waarde van p, zodanig dat de oppervlakte van de vierhoek ABFE net zo groot is als het grijze oppervlak?

Voor het oplossen van dit vraagstuk hebben we de eerste en tweede afgeleide van f(x) nodig, laten we deze alvast even noteren:

$\ f(x)=-x^3 + 3 p x^2 $
$\ f'(x)=-3x^2 + 6 p x $
$\ f''(x)=-6x + 6 p $

Om de coördinaten van het buigpunt D te vinden, lossen we op:

$\ f''(x)=0 $

We vinden:

$\ x_D = p $
$\ y_D = f(p) = 2p^3 $

De helling van de raaklijn is dan:

$\ f'(p)= -3p^2 + 6p^2 = 3p^2 $

De vergelijking van de raaklijn door D is dan:

$\ y = 3p^2 · x + b $

Deze raaklijn moet door D, dus voor x=p geldt: y=2p³:

$\ 2p^3 = 3p^2 · p + b $

Oplossen levert:

$\ b = -p^3 $

De vergelijking van de raaklijn door D is zodoende:

$\ y = 3p^2 · x -p^3 $

Om de x-xoördinaat van E te vinden, lossen we op:

$\ 3p^2 · x -p^3 = 0 $

We vinden:

$\ x_E = \frac {1} {3} p $

Nu nog de coördinaten van F. De y-coördinaat is gelijk aan de y-coördinaat van de top T. Ik neem aan dat je weet hoe je een maximum van de functie f(x) berekent. Ik vind:

$\ y_F = y_T = 4p^3 $

Invullen in de vergelijking van de raaklijn levert x_F:

$\ 3p^2 · x_F -p^3 = 4p^3 $
$\ x_F = \frac {5} {3} p $

De oppervlakte van driehoek EGF is dan:

$\ Opp_{EGF} = \frac {1} {2} · \left( \frac {5} {3} p - \frac {1} {3} p \right) ·4p^3 = \frac {8} {3} p^4 $

De oppervlakte van rechthoek ABFG is:

$\ Opp_{ABFG} = \left( 3p - \frac {5} {3} p \right) ·4p^3 = \frac {16} {3} p^4 $

De oppervlakte van vierhoek EABF is dan:

$\ Opp_{EABF} = \frac {8} {3} p^4 + \frac {16} {3} p^4 = 8 p^4 $

Het grijze oppervlak berekenen we door f(x) te integreren van x=0 tot x=3p. Primitiveren levert:

$\ F(x) = - \frac {1} {4} x^4 + px^3 + C $

Integreren van x=0 tot x=3p:

$\ Opp = - \frac {1} {4} (3p)^4 + p (3p)^3 = - \frac {81} {4} p^4 + \frac {108} {4} p^4 = \frac {27} {4} p^4 $

Voor geen enkele positieve waarde van p worden deze oppervlaktes aan elkaar gelijk.

maandag 4 juli 2016

©2001-2024 WisFaq