Complexe integraal

Beste meneer/mevrouw,

De vraag is om de integraal langs |z|=2 te berekenen van (z²+1)/(z²(z+1)).

Nu maak ik gebruik van de residuenstelling, maar mijn residu komt niet overeen met het juiste antwoord.

Ik vind de singuliere punten bij z=-1 en hier komt uit 2, dit klopt. maar voor z=0, om het residu hiervan te berekenen vul ik in z=0 en krijg ik: (0²+1)/(0+1) = 1 ik laat nu z² weg. De computer en de antwoorden zeggen dat het residu gelijk is aan -1 maar dit zie ik niet. Kun u mij helpen?

Koen S
Student hbo - maandag 27 juni 2016

Antwoord

Beste Koen,

Je moet even goed in je cursus kijken naar de formule(s) om residuen te berekenen. Voor het residu in z = -1 kom je op de juiste waarde, maar dat doe je (wellicht?) door de berekening:

\mbox{Res}(f,-1) =\lim_{z \to -1} (z+1)f(z) = \lim_{z \to -1}\frac{z^2+1}{z^2} = 2

Je mag dat echter niet zomaar onthouden als "z+1" weglaten, het hoeven geen veeltermfuncties te zijn. Deze formule werkt trouwens enkel voor polen van orde 1 en jouw f(z) heeft een pool van orde 2 in z=0. Hier kan je dus zeker niet z^2 gewoon 'weglaten'.

Misschien heb je deze, meer algemene formule gezien voor het residu in z=c als dat een pool van orde n is:

\mbox{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{\mbox{d}^{n-1}}{\mbox{d}z^{n-1}} \left( (z-c)^n f(z) \right)

In het geval van z=0 (met n=2) wordt dat:

\mbox{Res}(f,0) = \lim_{z \to 0} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}z}\frac{z^2+1}{z+1} = \cdots = -1

mvg,
Tom

maandag 27 juni 2016

©2001-2025 WisFaq