Re: Re: Open verzameling en veranderen van dimensie

Dit is een reactie op vraag 82170

Beste, bedankt. Vergeef me dat ik nog even blijf doorvragen,

Ik begrijp dus dat de open schijf in R2 zeker geen open schijf in R3 is, kan het dus zijn dat de open schijf in R2 noch open noch gesloten is in R3 ? Want om gesloten te zijn moet zijn complement open zijn(defenitie van gesloten?) Maar zijn complement is niet open want de punten op de rand van de schijf met z=0, hun "omgevings-bollen" hebben punten gemeenschappelijk met de schijf ? Dus mijn vraag is het mogelijk voor een verzameling om noch open, noch gesloten te zijn?

Alvast bedankt,
Groeten Simon

Simon
Student universiteit België - donderdag 12 mei 2016

Antwoord

Beste Simon,

Dat klopt: "niet open" hoeft niet "gesloten" te betekenen en vice versa. Je kan dat zien in termen van het complement, of: in een open verzameling zijn alle punten inwendige punten; een gesloten verzameling bevat al haar randpunten. Het is dan inderdaad mogelijk dat een verzameling noch open, noch gesloten is. Je hoeft daarvoor zelfs niet de schijf in R³ te bekijken.

Neem een open schijf in R² en voeg een eindig aantal randpunten toe aan de verzameling: de verzameling is dan niet meer open want niet alle punten zijn inwendige punten. Maar de verzameling is ook (nog) niet gesloten, want niet alle randpunten behoren tot de verzameling. Op analoge wijze kan je van een gesloten schijf ook een eindig aantal randpunten verwijderen om een gelijkaardige situatie te krijgen.

mvg,
Tom

donderdag 12 mei 2016

©2001-2024 WisFaq