Koch-eiland / Sneeuwvlok van Koch

Wat is de verklaring dat dit 'eiland' een oneindig lange omtrek heeft, maar dat de oppervlakte niet oneindig groot is?

Jeffre
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 maart 2003

Antwoord

de verklaring kan ik niet geven. ik kan je alleen laten zien dat het inderdaad zo is:

de constructie van de sneeuwvlok van Koch is als volgt:
stap 1: begin met een gelijkzijdige driehoek.
* voer voor elke rechte lijn het volgende uit:
stap 2: neem de middelste derde deel uit elk der lijnstukken, vermenigvuldig het met 2 en plaats het weer tussen het ontstane gat:
stap 3: begin opnieuw bij *

de omtrek neemt elke keer met een factor 4/3 toe (een der derde delen wordt in lengte verdubbeld)
Na 1x is de omtrek 3
na 2x is de omtrek 4 =4/3 * 3
na 3x is de omtrek 16/3 =4/3 * 4
als dit vaak genoeg gebeurd wordt de omtrek vanzelf oneindig.

de oppervlakte is minder inzichtelijk maar er kan bewezen worden dat de bovenstaande figuur altijd bevat is in een rechthoek van 1x4/3 (en daarmee dus nooit oneindig wordt). Ik hoop dat je dit bereid bent aan te nemen; het is best een rotwerk dit formeel te bewijzen.

Andere leuke paradoxen in de wiskunde zijn:
1: er zijn evenveel 10tallen als gehele getallen.
als je mij een getal geeft maak ik er een 10tal van door er een nul achter te zetten...)
1vervolg: tussen elke twee getallen ligt een breuk. Toch zijn er verwaarloosbaar weinig breuken op het totaal van getallen, maw als een willekeurig getal gepakt wordt is de kans nul dat dit een breuk betreft...
(ook deze is niet eenvoudig te bewijzen. hij is wel waar. Het eerste bewijs was naar mijn beste weten afkomstig van de wiskundige Cantor)

MvdH
vrijdag 7 maart 2003

©2001-2024 WisFaq